Упражнение 661 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{x\cdot x^2\cdot x^3\cdot ... \cdot x^n}{x\cdot x^3\cdot x^5\cdot ... \cdot x^{2n-1}}=\)

\(=\dfrac{x^{1+2+3+\dots+n}}{x^{1+3+5+\dots+(2n-1)}}=\)

\(=\dfrac{x^{\frac{n^2+n}{2}}}{x^{n^2}}=x^{\frac{n^2+n}{2} - n^2  ^{\color{blue}{\backslash2}} }=\)

\(=x^{\frac{n^2+n - 2n^2}{2}}=x^{\frac{n - n^2}{2}}\).

1) \(1; 2; 3; ... ; n\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = 1\).

\(a_1 = 1\)

\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n\)

\(S_n = \frac{2\cdot 1 + 1\cdot(n-1)}{2}\cdot n=\)

\(= \frac{2 + n-1}{2}\cdot n=\frac{(n + 1)n}{2}=\)

\(=\frac{n^2 + n}{2}\).

2) \(1; 3; 5; ... ; 2n-1\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = 2\).

\(a_1 = 1\)

\(S_n = \frac{2\cdot 1 + 2\cdot(n-1)}{2}\cdot n=\)

\(= \frac{2 + 2n-2}{2}\cdot n=\)

\(= \frac{\cancel2n\cdot n}{\cancel2}=n^2\).

Ответ: \(x^{\frac{n - n^2}{2}}\).

б) \(\dfrac{x^2\cdot x^4\cdot x^6\cdot ... \cdot x^{2n}}{x\cdot x^2\cdot x^3\cdot ... \cdot x^n}=\)

\(=\dfrac{x^{2+4+6+\dots+2n}}{x^{1+2+3+\dots+n}}=\)

\(=\dfrac{x^{n^2+n}}{x^{\frac{n^2+n}{2}}}=x^{(n^2+n) ^{\color{blue}{\backslash2}} -\frac{n^2+n}{2}}=\)

\(=x^{\frac{2(n^2+n)-(n^2+n)}{2}}=x^{\frac{2n^2+2n-n^2-n}{2}}=\)

\(=x^{\frac{n^2+n}{2}}\).

1) \(2; 4; 6; ... ; 2n\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = 2\).

\(a_1 = 2\)

\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n\)

\(S_n = \frac{2\cdot2 + 2\cdot(n-1)}{2}\cdot n=\)

\(= \frac{4 + 2n-2}{2}\cdot n= \frac{(2n+2)n}{2}=\)

\(=\frac{\cancel2(n+1)n}{\cancel2}=(n+1)n = n^2 +n\)

2) \(1; 2; 3; ... ; n\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = 1\).

\(a_1 = 1\)

\(S_n = \frac{2\cdot 1 + 1\cdot(n-1)}{2}\cdot n=\)

\(= \frac{2 + n-1}{2}\cdot n=\frac{(n + 1)n}{2}=\).

\(=\frac{n^2 + n}{2}\).

Ответ: \(x^{\frac{n(n+1)}{2}}\)

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

\[x^a\cdot x^b=x^{a+b}.\]

2) При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

\[\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\quad (x\ne 0).\]

3) В каждом случае степени представляют собой арифметическую прогрессию.

4) Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}\cdot n\)

\( \begin{cases} 3x - y \ge 0,\\ y - 5 \ge 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} - y \ge -3x, {\color{red}{|\times(-1)}}\\ y\ge 5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y \le 3x, {\color{red}{|\times(-1)}}\\ y\ge 5 \end{cases} \)

\(y = 3x\)

Ответ: угол. 

Пояснения:

Правила:

Если после преобразований получаем неравенство вида \(y > kx + b\), то решения — все точки выше прямой \(y = kx + b\); при \(y < kx + b\) — ниже прямой.

Если знак нестрогий (\(\le\) или \(\ge\)), то прямая входит в множество решений (на графике её проводят сплошной линией). Если знак строгий (\(<\) или \(>\)), прямая не входит в множество решений (на графике её изображают штриховой).

Система неравенств означает, что нужно взять пересечение полуплоскостей: точка является решением системы, только если она удовлетворяет всем неравенствам сразу.