Вернуться к содержанию учебника
Найдите натуральное число, которое:
а) в 5 раз меньше суммы предшествующих ему натуральных чисел;
б) равно сумме предшествующих ему натуральных чисел.
Вспомните:
а) Пусть \(n\) - искомое натуральное число.
\(1; 2; 3; \dots; n\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = 1\).
\(a_1 = 1\), \(a_n = n\)
\(S_{n-1} \) - сумма чисел от 1 до \(n\).
\(5a_n = S_{n-1}\)
\(S_{n-1} = \frac{2a_1 + d(n-1-1)}{2}\cdot(n-1)=\)
\(=\frac{2\cdot1+ 1\cdot(n - 2)}{2} \cdot (n-1) = \)
\(=\frac{2 + n - 2}{2} \cdot (n - 1)=\)
\(=\frac{n(n-1)}{2}\).
\(5n = \frac{n(n-1)}{2}\) \(/\times2\)
\(10n = n(n-1)\)
\(10n = n^2 - n\)
\(n^2 - n - 10 n = 0\)
\(n^2 - 11n = 0\)
\(n(n - 11) = 0\)
\(n = 0 \notin N\) или \(n - 11 = 0\)
\(n = 11 \in N\)
Ответ: число \(11\).
б) Пусть \(n\) - искомое натуральное число.
\(1; 2; 3; \dots; n\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = 1\).
\(a_1 = 1\), \(a_n = n\)
\(S_{n-1} \) - сумма чисел от 1 до \(n\).
\(a_n = S_{n-1}\)
\(S_{n-1} = \frac{2a_1 + (n-1-1)d}{2}\cdot(n-1)=\)
\(=\frac{2\cdot1+ (n - 2)\cdot1}{2} \cdot (n-1) = \)
\(=\frac{2 + n - 2}{2} \cdot (n - 1)=\)
\(=\frac{n(n-1)}{2}\).
\(n = \frac{n(n-1)}{2}\) \(/\times2\)
\(2n = n(n - 1)\)
\(2n = n^2 - n\)
\(n^2 - n - 2n = 0\)
\(n^2 -3n = 0\)
\(n(n - 3) = 0\)
\(n = 0 \notin N\) или \(n - 3 = 0\)
\(n = 3 \in N\)
Ответ: число \(3\).
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1) Все натуральные числа образуют арифметическую прогрессию с разностью \(d=1\).
2) Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\(S_{n} = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n\).
3) Для натурального числа \(n\) сумма предшествующих ему чисел равна сумме от \(1\) до \(n-1\).
4) Неполное квадратное уравнение
\(ax^2 + bx = 0\)
решается через разложение на множители (выносим \(x\) за скобки), а затем учитываем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Вернуться к содержанию учебника