Упражнение 654 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((a_n)\) - арифметическая прогрессия.

\(d=-0{,}4,\ n=12,\ a_n=2{,}4\)

\(a_1 - ?\) и \(S_n - ?\)

1) \(a_n = a_1 + (n - 1)d\)

\(a_{12} = a_1 + (12-1)d\)

\(2,4 = a_1 + 11\cdot(-0,4)\)

\(2,4 = a_1 - 4,4\)

\(a_1 = 2,4 + 4,4\)

\(a_1 = 6,8\)

2) \(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\,n\)

\(S_{12}=\dfrac{(a_1+a_{12})}{\cancel2}\cdot\cancel{12}  ^{\color{blue}{6}} =\)

\(=(6,8 + 2,4)\cdot 6 = \)

\(=9,2\cdot6 =55{,}2\).

Ответ: \(a_1 = 6,8\), \(S_{12} = 55,2\).

б) \(a_1=-35,\ d=5,\ S_n=250\)

\(n - ?\)  и  \(a_n - ?\)

1) \(S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\,n\)

\(\frac{2\cdot(-35)+(n-1)\cdot5}{2}\,n = 250\)

\(\frac{(-70+5n-5)n}{2} = 250\)   \(/\times 2\)

\((5n - 75)n = 500\)

\(5n^2 - 75n - 500 = 0\)   \(/ : 5\)

\(n^2 - 15n - 100=0\)

\(D = (-15)^2 - 4\cdot1\cdot (-100) =\)

\( = 225 + 400 = 625 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{625} = 25\).

\(n_1 = \frac{15 + 25}{2\cdot1} = \frac{40}{2} = 20\).

\(n_2 = \frac{15 - 25}{2\cdot1} = \frac{-10}{2} = -5 \notin N\).

2) \(n = 20\)

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_{20}=-35+(20-1)\cdot 5=\)

\(=-35+19\cdot 5=-35+95=60.\)

Ответ: \(n = 20\)  и  \(a_{20} = 60.\)

в) \(d=\frac{1}{2},\ a_n=50,\ S_n=2525\)

\(a_1 - ?\)  и  \(n - ?\)

1) \(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_1+(n-1)\cdot\frac{1}{2} = 50\)

\(a_1=50-\frac{n-1}{2}\)

2) \(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)

\(\dfrac{50-\frac{n-1}{2}+50}{2}\cdot n = 2525\)  \(/\times2\)

\((100-\frac{n-1}{2}) \cdot n = 5050\)

\(100n-\frac{(n-1)n}{2}= 5050\) \(/\times2\)

\(200n -(n-1)n = 10\,100\)

\(200n - n^2 + n - 10\,100 = 0\)

\(-n^2 + 201n -10\,100 = 0\)  \(/\times(-1)\)

\(n^2 - 201n + 10\,100 = 0\)

\(D = (-201)^2 - 4\cdot1\cdot 10\,100 =\)

\(= 40\,401 - 40\,400 = 1 > 0\) - два корня.

\(\sqrt 1 = 1\).

\(n_1 = \frac{201 + 1}{2\cdot1} = \frac{202}{2} = 101\).

\(n_2 = \frac{201 - 1}{2\cdot1} = \frac{200}{2} = 100\).

3) Если \(n = 101\), то

\(a_1=50-\frac{101-1}{2} = \)

\(=50 - \frac{100}{2} = 50 - 50 = 0.\)

Если \(n = 100\), то

\(a_1=50-\frac{100-1}{2} = \)

\(=50 - \frac{99}{2} = 50 - 49,5 = 0,5.\)

Ответ: \(a_1= 0\), \(n = 101\) или

\(a_1= 0,5\), \(n = 100.\)

г) \(a_1=-\frac{1}{2},\ a_n=-29\frac{1}{2},\ S_n=-450\)

\(d - ?\)  и  \(n - ?\).

1) \(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)

\(\dfrac{-\frac{1}{2}+\left(-29\frac{1}{2}\right)}{2}\cdot n=-450\)

\(\dfrac{-30}{2}\cdot n=-450\)

\(-15n = -450\)

\(n = \frac{-450}{-15}\)

\(n=30\)

2) \(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_{30} = a_1 + (30 - 1)d\)

\(-29\frac{1}{2}=-\frac{1}{2} + 29\cdot d\)

\(-\frac{59}{2}=-\frac{1}{2}+29d\)

\(29d=-\frac{59}{2}+\frac{1}{2}\)

\(29d=-\frac{58}{2}\)

\(29d=-29\)

\(d=-1\)

Ответ: \(d=-1\), \(n=30\).

---

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

Формула \(n\) - го члена арифметической прогрессии:

\[a_n=a_1+(n-1)d.\]

Формулы суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\,n\);

\(S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\,n\).

Разность арифметической прогрессии:

\[d = a_{n+1}-a_n.\]

Квадратное уравнение:

\(ax^2 + bx + c = 0\)

решается через дискриминант.

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

а) Как найти \(a_1\) и \(S_n\), если известны \(a_n\), \(n\), \(d\).

Из формулы \(a_n=a_1+(n-1)d\) выражаем первый член:

\[a_1=a_n-(n-1)d.\]

После нахождения \(a_1\) сумму находим по формуле

\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\,n\).

б) Как найти \(n\), если известны \(a_1\), \(d\), \(S_n\).

Удобно использовать формулу суммы через \(a_1\) и \(d\):

\(S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\,n\).

После подстановки получается квадратное уравнение относительно \(n\). Из двух корней подходит только натуральный.

Далее \(a_n\) находим по формуле

\(a_n=a_1+(n-1)d\).

в) Почему в пункте (в) два решения.

При подстановке условий в формулы получается квадратное уравнение относительно \(n\), у которого два натуральных корня. Для каждого найденного \(n\) по формуле

\[a_1=50-\frac{n-1}{2}\]

получается своё значение \(a_1\). Оба варианта удовлетворяют одновременно и условию на \(a_n\), и условию на \(S_n\).

г) Как найти \(n\) по сумме и крайним членам.

Если известны \(a_1\), \(a_n\) и \(S_n\), то из

\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\,n\)

сразу находится \(n\). Затем \(d\) находим из формулы члена прогрессии:

\[a_n=a_1+(n-1)d.\]

а) \(x_5 = 1\dfrac{1}{9},\ q = \dfrac13\);

\(x_5 = x_1\cdot q^{4}\)

\(x_1=\frac{x_5}{q^4}=1\frac{1}{9}:\left(\dfrac13\right)^4=\)

\(=\frac{10}{9}:\frac{1}{81}=\frac{10}{9}\cdot81=90.\)

\(\small S_5 = \dfrac{x_1\cdot(q^5-1)}{q-1} = \dfrac{90\cdot\Biggl(\left(\dfrac13\right)^5-1\Biggr)}{\dfrac13-1}=\)

\(\small = \dfrac{90\cdot\Biggl(\dfrac{1}{243}-1\Biggr)}{-\dfrac23}=\dfrac{90\cdot\Biggl(-\dfrac{242}{243}\Biggr)}{-\dfrac23}=\)

\(\small =\dfrac{\cancel{90}^{\color{red}{10}}\cdot\cancel{242}^{\color{blue}{121}}\cdot\cancel3^{\color{green}{1}}}{\cancel{243}_{\color{red}{\cancel{27}_{\color{green}{9}}}}\cdot\cancel{2}_{\color{blue}{1}}}=\frac{1210}{9}=134\frac{4}{9}.\)

Ответ: \(S_5=134\frac{4}{9}.\)

б) \(x_4 = 121{,}5,\ q = -3\).

\(x_4 = x_1\cdot q^{3}\)

\(\small x_1=\frac{x_4}{q^3}=\frac{121,5}{(-3)^3}=\frac{121,5}{-27}=-4,5\)

\(S_5= \dfrac{x_1\cdot(q^5-1)}{q-1} =\)

\(=\dfrac{-4{,}5\cdot((-3)^5-1)}{-3-1}=\)

\(= \dfrac{-4{,}5\cdot(-243-1)}{-3-1}=\)

\(=\dfrac{-4{,}5\cdot(-244)}{-4} = -274{,}5.\)

Ответ: \(S_5=-274{,}5.\)

---

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]

Чтобы найти первый член прогрессии, нужно выразить \(b_1\) из этой формулы:

\( b_1 = \dfrac{b_n}{q^{\,n-1}}. \)

Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:

\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)

В пункте а) известен пятый член прогрессии, поэтому сначала из формулы общего члена находится первый член \(x_1\). Затем подставляются значения в формулу суммы при \(n=5\).

В пункте б) аналогично сначала определяется первый член по известному четвёртому члену, после чего вычисляется сумма первых пяти членов. Знак знаменателя \(q\) учитывается при возведении в степень и при вычислении суммы.