Вернуться к содержанию учебника
В арифметической прогрессии \((a_n)\):
а) \(d=-0{,}4,\ n=12,\ a_n=2{,}4\); найдите \(a_1\) и \(S_n\);
б) \(a_1=-35,\ d=5,\ S_n=250\); найдите \(n\) и \(a_n\);
в) \(d=\frac{1}{2},\ a_n=50,\ S_n=2525\); найдите \(a_1\) и \(n\);
г) \(a_1=-\frac{1}{2},\ a_n=-29\frac{1}{2},\ S_n=-450\); найдите \(d\) и \(n\).
Вспомните:
а) \((a_n)\) - арифметическая прогрессия.
\(d=-0{,}4,\ n=12,\ a_n=2{,}4\)
\(a_1 - ?\) и \(S_n - ?\)
1) \(a_n = a_1 + (n - 1)d\)
\(a_{12} = a_1 + (12-1)d\)
\(2,4 = a_1 + 11\cdot(-0,4)\)
\(2,4 = a_1 - 4,4\)
\(a_1 = 2,4 + 4,4\)
\(a_1 = 6,8\)
2) \(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\,n\)
\(S_{12}=\dfrac{(a_1+a_{12})}{\cancel2}\cdot\cancel{12} ^{\color{blue}{6}} =\)
\(=(6,8 + 2,4)\cdot 6 = \)
\(=9,2\cdot6 =55{,}2\).
Ответ: \(a_1 = 6,8\), \(S_{12} = 55,2\).
б) \(a_1=-35,\ d=5,\ S_n=250\)
\(n - ?\) и \(a_n - ?\)
1) \(S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\,n\)
\(\frac{2\cdot(-35)+(n-1)\cdot5}{2}\,n = 250\)
\(\frac{(-70+5n-5)n}{2} = 250\) \(/\times 2\)
\((5n - 75)n = 500\)
\(5n^2 - 75n - 500 = 0\) \(/ : 5\)
\(n^2 - 15n - 100=0\)
\(D = (-15)^2 - 4\cdot1\cdot (-100) =\)
\( = 225 + 400 = 625 > 0\) - два корня.
\(\sqrt{625} = 25\).
\(n_1 = \frac{15 + 25}{2\cdot1} = \frac{40}{2} = 20\).
\(n_2 = \frac{15 - 25}{2\cdot1} = \frac{-10}{2} = -5 \notin N\).
2) \(n = 20\)
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_{20}=-35+(20-1)\cdot 5=\)
\(=-35+19\cdot 5=-35+95=60.\)
Ответ: \(n = 20\) и \(a_{20} = 60.\)
в) \(d=\frac{1}{2},\ a_n=50,\ S_n=2525\)
\(a_1 - ?\) и \(n - ?\)
1) \(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_1+(n-1)\cdot\frac{1}{2} = 50\)
\(a_1=50-\frac{n-1}{2}\)
2) \(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)
\(\dfrac{50-\frac{n-1}{2}+50}{2}\cdot n = 2525\) \(/\times2\)
\((100-\frac{n-1}{2}) \cdot n = 5050\)
\(100n-\frac{(n-1)n}{2}= 5050\) \(/\times2\)
\(200n -(n-1)n = 10\,100\)
\(200n - n^2 + n - 10\,100 = 0\)
\(-n^2 + 201n -10\,100 = 0\) \(/\times(-1)\)
\(n^2 - 201n + 10\,100 = 0\)
\(D = (-201)^2 - 4\cdot1\cdot 10\,100 =\)
\(= 40\,401 - 40\,400 = 1 > 0\) - два корня.
\(\sqrt 1 = 1\).
\(n_1 = \frac{201 + 1}{2\cdot1} = \frac{202}{2} = 101\).
\(n_2 = \frac{201 - 1}{2\cdot1} = \frac{200}{2} = 100\).
3) Если \(n = 101\), то
\(a_1=50-\frac{101-1}{2} = \)
\(=50 - \frac{100}{2} = 50 - 50 = 0.\)
Если \(n = 100\), то
\(a_1=50-\frac{100-1}{2} = \)
\(=50 - \frac{99}{2} = 50 - 49,5 = 0,5.\)
Ответ: \(a_1= 0\), \(n = 101\) или
\(a_1= 0,5\), \(n = 100.\)
г) \(a_1=-\frac{1}{2},\ a_n=-29\frac{1}{2},\ S_n=-450\)
\(d - ?\) и \(n - ?\).
1) \(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)
\(\dfrac{-\frac{1}{2}+\left(-29\frac{1}{2}\right)}{2}\cdot n=-450\)
\(\dfrac{-30}{2}\cdot n=-450\)
\(-15n = -450\)
\(n = \frac{-450}{-15}\)
\(n=30\)
2) \(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_{30} = a_1 + (30 - 1)d\)
\(-29\frac{1}{2}=-\frac{1}{2} + 29\cdot d\)
\(-\frac{59}{2}=-\frac{1}{2}+29d\)
\(29d=-\frac{59}{2}+\frac{1}{2}\)
\(29d=-\frac{58}{2}\)
\(29d=-29\)
\(d=-1\)
Ответ: \(d=-1\), \(n=30\).
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
Формула \(n\) - го члена арифметической прогрессии:
\[a_n=a_1+(n-1)d.\]
Формулы суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\,n\);
\(S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\,n\).
Разность арифметической прогрессии:
\[d = a_{n+1}-a_n.\]
Квадратное уравнение:
\(ax^2 + bx + c = 0\)
решается через дискриминант.
Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).
а) Как найти \(a_1\) и \(S_n\), если известны \(a_n\), \(n\), \(d\).
Из формулы \(a_n=a_1+(n-1)d\) выражаем первый член:
\[a_1=a_n-(n-1)d.\]
После нахождения \(a_1\) сумму находим по формуле
\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\,n\).
б) Как найти \(n\), если известны \(a_1\), \(d\), \(S_n\).
Удобно использовать формулу суммы через \(a_1\) и \(d\):
\(S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\,n\).
После подстановки получается квадратное уравнение относительно \(n\). Из двух корней подходит только натуральный.
Далее \(a_n\) находим по формуле
\(a_n=a_1+(n-1)d\).
в) Почему в пункте (в) два решения.
При подстановке условий в формулы получается квадратное уравнение относительно \(n\), у которого два натуральных корня. Для каждого найденного \(n\) по формуле
\[a_1=50-\frac{n-1}{2}\]
получается своё значение \(a_1\). Оба варианта удовлетворяют одновременно и условию на \(a_n\), и условию на \(S_n\).
г) Как найти \(n\) по сумме и крайним членам.
Если известны \(a_1\), \(a_n\) и \(S_n\), то из
\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\,n\)
сразу находится \(n\). Затем \(d\) находим из формулы члена прогрессии:
\[a_n=a_1+(n-1)d.\]
Вернуться к содержанию учебника