Упражнение 649 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 184

\(x_m\) и \(x_n\),члены арифметической прогрессии с разностью \(d\), \(m \neq n\).

Доказать: \[d=\frac{x_m-x_n}{m-n}.\]

Доказательство:

\(x_m=x_1+(m-1)d\)

\(x_n=x_1+(n-1)d\)

\(x_m-x_n=(x_1+(m-1)d)-(x_1+(n-1)d)\)

\(=\cancel{x_1}+(m-1)d-\cancel{x_1}-(n-1)d\)

\(x_m-x_n=(m-1)d - (n-1)d\)

\(x_m-x_n=((m-1)-(n-1))d \)

\(x_m-x_n=(m-\cancel1-n+\cancel1)d \)

\(x_m-x_n=(m-n)d \)    \(/ : (m-n)\)

\(\dfrac{x_m-x_n}{m-n} = d\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Формула \(k\)-го члена арифметической прогрессии:

\[x_k=x_1+(k-1)d.\]

2) Свойства вычитания: при вычитании скобок знаки у слагаемых меняются на противоположные.

3) Вынесение множителя:

если \(A=(m-n)d\) и \(m\ne n\), то можно разделить обе части на \(m-n\).

Почему получается формула для \(d\).

Так как \((x_k)\) — арифметическая прогрессия, любой её член выражается через первый член и разность:

\(x_m=x_1+(m-1)d,\)

\(x_n=x_1+(n-1)d.\)

Вычтем второе равенство из первого: первый член \(x_1\) сокращается, остаётся разность коэффициентов при \(d\):

\[x_m-x_n=((m-1)-(n-1))d=(m-n)d.\]

Так как \(m\ne n\), то \(m-n\ne 0\), значит можно разделить обе части на \(m-n\):

\[d=\frac{x_m-x_n}{m-n}.\]