Упражнение 652 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 184

а) \(2+6+10+\dots+198\)

\(a_1=2,\ a_2 = 6\),

\(d=a_2 - a_1=6-2=4,\)

\(a_n=198\)

\(a_n = a_1 + d(n-1)\)

\(2+(n-1)\cdot 4=198\)

\(4(n-1)=198-2\)

\(4(n-1)=196\)

\(n - 1 = \frac{196}{4}\)

\(n - 1 = 49\)

\(n = 49 + 1\)

\(n=50\)

\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\,n\)

\(S_{50}=\dfrac{(a_1+a_{50})}{2}\cdot50 = \)

\(=\dfrac{(2+198)\cdot\cancel{50}  ^{\color{blue}{25}} }{\cancel2}=\)

\(=200\cdot 25=5000\).

Ответ: \(5000\).

б) \(95+85+75+\dots+(-155)\)

\(a_1=95,\ a_2 = 85,\)

\(d=a_2 - a_1=85-95=-10,\)

\(a_n=-155\)

\(a_n = a_1 + d(n-1)\)

\(95+(n-1)\cdot(-10)=-155\)

\(-10(n-1)=-155-95\)

\(-10(n-1) = -250\)

\(n - 1 = \frac{-250}{-10}\)

\(n-1 = 25\)

\(n=25+1\)

\(n=26\)

\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\,n\)

\(S_{26}=\dfrac{(a_1+a_{26})}{2}\cdot26=\)

\(=\dfrac{(95+(-155))\cdot\cancel{26}  ^{\color{blue}{13}} }{\cancel2}=\)

\(=-60\cdot13=-780\)

Ответ: \(-780\).

Пояснения:

Арифметическая прогрессия задаётся первым членом \(a_1\) и разностью \(d\), которая равна разности между вторым и первым членами:

\[d=a_2-a_1.\]

Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[a_n=a_1+(n-1)d.\]

Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n=\frac{(a_1+a_n)}{2}\,n.\]

а) Сначала находим количество слагаемых \(n\), решая уравнение для последнего члена прогрессии \(a_n = 198\). После этого используем формулу суммы через первый и последний члены прогрессии.

б) Последовательность убывает, так как разность отрицательная. Количество членов также находится из формулы \(n\)-го члена, затем применяется формула суммы через первый и последний члены прогрессии.