Упражнение 655 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 184

\((x_n)\) - арифметическая прогрессия.

\(a_{10} = 1\),  \(S_{16} = 4\).

\(d - ?\),  \(a_1 - ?\)

\(x_n = x_1 + (n - 1)d\)

\( S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\,n \)

\(\begin{cases} x_{10} = x_1 + (10 - 1)d,\\ S_{16}=\dfrac{2x_1+(16-1)d}{\cancel2}\cdot \cancel{16}  ^{\color{red}{8}} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x_1 + 9d = 1,\\ (2x_1+15d)\cdot8 = 4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x_1 = 1 - 9d,\\ (2\cdot(1 - 9d)+15d)\cdot8 = 4 \end{cases}\)

\( (2\cdot(1 - 9d)+15d)\cdot8 = 4\)

\((2 - 18d+15d)\cdot8 = 4\)

\((2 - 3d)\cdot8 = 4\)

\(16 - 24d = 4\)

\(24d = 16 - 4\)

\(24d = 12\)

\(d = \frac{12}{24}\)

\(d = \frac12\)

\(d = 0,5\)

\(x_1=1-9\cdot 0{,}5=\)

\(=1-4{,}5=-3{,}5\)

Ответ: \(d = 0,5\), \(x_1=-3,5\).

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[x_n=x_1+(n-1)d.\]

2) Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\( S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\,n \).

Составление системы уравнений.

Из условия задачи известно значение одного члена прогрессии и суммы нескольких первых членов. Это позволяет составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными \(x_1\) и \(d\).

Решение системы.

Решаем систему методом подстановки. Сначала из уравнения для \(x_{10}\) выражаем \(x_1\), затем подставляем его в уравнение для суммы \(S_{16}\). После нахождения разности \(d\) вычисляется первый член прогрессии.