Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№655 учебника 2023-2026 (стр. 184):
Найдите разность арифметической прогрессии \((x_n)\) и её первый член, если десятый член этой прогрессии равен \(1\) и сумма первых шестнадцати её членов равна \(4\).
№655 учебника 2014-2022 (стр. 171):
Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 2, а пятый равен 162, если известно, что её члены с нечётным номерами положительны, а с чётными отрицательны.
№655 учебника 2023-2026 (стр. 184):
Вспомните:
№655 учебника 2014-2022 (стр. 171):
№655 учебника 2023-2026 (стр. 184):
\((x_n)\) - арифметическая прогрессия.
\(a_{10} = 1\), \(S_{16} = 4\).
\(d - ?\), \(a_1 - ?\)
\(x_n = x_1 + (n - 1)d\)
\( S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\,n \)
\(\begin{cases} x_{10} = x_1 + (10 - 1)d,\\ S_{16}=\dfrac{2x_1+(16-1)d}{\cancel2}\cdot \cancel{16} ^{\color{red}{8}} \end{cases}\)
\(\begin{cases} x_1 + 9d = 1,\\ (2x_1+15d)\cdot8 = 4 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x_1 = 1 - 9d,\\ (2\cdot(1 - 9d)+15d)\cdot8 = 4 \end{cases}\)
\( (2\cdot(1 - 9d)+15d)\cdot8 = 4\)
\((2 - 18d+15d)\cdot8 = 4\)
\((2 - 3d)\cdot8 = 4\)
\(16 - 24d = 4\)
\(24d = 16 - 4\)
\(24d = 12\)
\(d = \frac{12}{24}\)
\(d = \frac12\)
\(d = 0,5\)
\(x_1=1-9\cdot 0{,}5=\)
\(=1-4{,}5=-3{,}5\)
Ответ: \(d = 0,5\), \(x_1=-3,5\).
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1) Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:
\[x_n=x_1+(n-1)d.\]
2) Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\( S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\,n \).
Составление системы уравнений.
Из условия задачи известно значение одного члена прогрессии и суммы нескольких первых членов. Это позволяет составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными \(x_1\) и \(d\).
Решение системы.
Решаем систему методом подстановки. Сначала из уравнения для \(x_{10}\) выражаем \(x_1\), затем подставляем его в уравнение для суммы \(S_{16}\). После нахождения разности \(d\) вычисляется первый член прогрессии.
№655 учебника 2014-2022 (стр. 171):
\(b_1 = 2,\ b_5 = 162\).
\(b_5 = b_1\cdot q^{4}\)
\(q^4=\frac{b_5}{b_1}=\frac{162}{2}=81.\)
\(q^2=9;\)
\(q=3\) - не соответствует условию.
или
\(q = -3.\)
\(\small S_6=\frac{b_1(q^6-1)}{q-1}=\frac{2((-3)^6-1)}{-3-1}=\)
\(=\frac{2(729-1)}{-4}=-\frac{728}{2}=-364.\)
Ответ: \(S_6=-364.\)
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]
Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:
\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)
Вернуться к содержанию учебника