Вернуться к содержанию учебника
Найдите сумму:
а) всех натуральных чётных чисел, не превосходящих 200;
б) всех натуральных нечётных чисел, не превосходящих 150;
в) всех натуральных чисел, кратных 3, заключённых в промежутке от 100 до 200.
Вспомните:
а) \(2; 4; 6; \dots; 200\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d=2\).
\(a_1=2,\ a_n=200\)
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)
\(2 + (n - 1)\cdot 2 = 200\)
\(2 + 2n - 2 = 200\)
\(2n = 200\)
\(n = \frac{200}{2}\)
\(n = 100\)
\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)
\(S_{100}=\dfrac{a_1+a_{100}}{\cancel2}\cdot \cancel{100} ^{\color{red}{50}} =\)
\(=(2 + 200)\cdot50=\)
\(=202\cdot 50=10\,100\)
Ответ: \(10\,100\).
б) \(1; 3; 5; \dots; 149\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d=2\).
\(a_1=1,\ a_n=149\)
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)
\(1 + (n - 1) \cdot2 = 149\)
\(1 + 2n - 2 = 149\)
\(2n - 1 = 149\)
\(2n = 149 + 1\)
\(2n = 150\)
\(n = \frac{150}{2}\)
\(n = 75\)
\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n\)
\(S_{75}=\dfrac{(a_1+a_{75})}{2}\cdot 75=\)
\(=\dfrac{(1+149)\cdot75}{2}=\dfrac{ ^{\color{blue}{75}} \cancel{150}\cdot75}{\cancel2}=\)
\(=75\cdot75 = 5625\).
Ответ: \(5625\).
в) \(102; 105; 108; \dots;198\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d=3\).
\(a_1=102,\ a_n=198\)
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)
\(102 + (n-1)\cdot3 = 198\)
\(102 +3n - 3 = 198\)
\(99 + 3n = 198\)
\(3n = 198 - 99\)
\(3n = 99\)
\(n = \frac{99}{3}\)
\(n = 33\)
\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)
\(S_{33}=\dfrac{a_1+a_{33}}{2}\cdot 33=\)
\(=\dfrac{(102+198)\cdot 33}{2}=\)
\(=\dfrac{ ^{\color{blue}{150}} \cancel{300}\cdot 33}{\cancel2}=150\cdot33=4950\).
Ответ: \(4950\).
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1) Последовательные чётные, нечётные числа и числа, кратные одному и тому же числу, образуют арифметическую прогрессию.
2) Количество членов арифметической прогрессии от \(a_1\) до \(a_n\) включительно находим через формулу \(n\)-го члена арифметической прогрессии.
\(a_n = a_1+(n-1)d\).
3) Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\[S_n=\frac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n\]
Вернуться к содержанию учебника