Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№657 учебника 2023-2026 (стр. 184):
Найдите сумму:
а) всех натуральных чётных чисел, не превосходящих 200;
б) всех натуральных нечётных чисел, не превосходящих 150;
в) всех натуральных чисел, кратных 3, заключённых в промежутке от 100 до 200.
№657 учебника 2014-2022 (стр. 171):
В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первых двух членов равна 8, а сумма третьего и четвёртого членов равна 72. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, надо сложить, чтобы получить в сумме 242?
№657 учебника 2023-2026 (стр. 184):
Вспомните:
№657 учебника 2014-2022 (стр. 171):
Вспомните:
№657 учебника 2023-2026 (стр. 184):
а) \(2; 4; 6; \dots; 200\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d=2\).
\(a_1=2,\ a_n=200\)
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)
\(2 + (n - 1)\cdot 2 = 200\)
\(2 + 2n - 2 = 200\)
\(2n = 200\)
\(n = \frac{200}{2}\)
\(n = 100\)
\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)
\(S_{100}=\dfrac{a_1+a_{100}}{\cancel2}\cdot \cancel{100} ^{\color{red}{50}} =\)
\(=(2 + 200)\cdot50=\)
\(=202\cdot 50=10\,100\)
Ответ: \(10\,100\).
б) \(1; 3; 5; \dots; 149\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d=2\).
\(a_1=1,\ a_n=149\)
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)
\(1 + (n - 1) \cdot2 = 149\)
\(1 + 2n - 2 = 149\)
\(2n - 1 = 149\)
\(2n = 149 + 1\)
\(2n = 150\)
\(n = \frac{150}{2}\)
\(n = 75\)
\(S_n=\dfrac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n\)
\(S_{75}=\dfrac{(a_1+a_{75})}{2}\cdot 75=\)
\(=\dfrac{(1+149)\cdot75}{2}=\dfrac{ ^{\color{blue}{75}} \cancel{150}\cdot75}{\cancel2}=\)
\(=75\cdot75 = 5625\).
Ответ: \(5625\).
в) \(102; 105; 108; \dots;198\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d=3\).
\(a_1=102,\ a_n=198\)
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)
\(102 + (n-1)\cdot3 = 198\)
\(102 +3n - 3 = 198\)
\(99 + 3n = 198\)
\(3n = 198 - 99\)
\(3n = 99\)
\(n = \frac{99}{3}\)
\(n = 33\)
\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)
\(S_{33}=\dfrac{a_1+a_{33}}{2}\cdot 33=\)
\(=\dfrac{(102+198)\cdot 33}{2}=\)
\(=\dfrac{ ^{\color{blue}{150}} \cancel{300}\cdot 33}{\cancel2}=150\cdot33=4950\).
Ответ: \(4950\).
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1) Последовательные чётные, нечётные числа и числа, кратные одному и тому же числу, образуют арифметическую прогрессию.
2) Количество членов арифметической прогрессии от \(a_1\) до \(a_n\) включительно находим через формулу \(n\)-го члена арифметической прогрессии.
\(a_n = a_1+(n-1)d\).
3) Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\[S_n=\frac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n\]
№657 учебника 2014-2022 (стр. 171):
Пусть \(b_1\) — первый член, \(q\) — знаменатель геометрической прогрессии.
\( \begin{cases} b_1 + b_2 = 8 \\ b_3 + b_4 = 72 \end{cases} \)
\( \begin{cases} b_1 + b_1q = 8 \\b_1q^2 + b_1q^3 = 72 \end{cases} \)
\( \begin{cases} b_1(1+q)=8 \\b_1q^2(1+q)=72 \end{cases} \)
Разделим второе уравнение на первое:
\(\dfrac{b_1q^2(1+q)}{b_1(1+q)}=\dfrac{72}{8}\).
\(q^2=9\)
Откуда:
\(q=3\)
или
\(q=-3\) - не удовлетворяет условию.
\(b_1(1+q)=8\)
\(b_1(1+3)=8\)
\(b_1=2\).
\(S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}\).
\(S_n=242\) - тогда.
\(242=2\cdot\dfrac{3^n-1}{2}\)
\(3^n-1=242\)
\(3^n=243\)
\(3^n=3^5\).
\(n=5\).
Ответ: нужно сложить первые \(5\) членов прогрессии.
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Формулы, используемые в задаче:
Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]
Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:
\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)
Из условий задачи были составлены два уравнения для сумм соседних членов. Делением этих уравнений найден знаменатель прогрессии \(q\). Поскольку все члены положительные, выбран положительный корень.
После нахождения первого члена и знаменателя использована формула суммы первых \(n\) членов. Решение показало, что сумма 242 получается при сложении первых пяти членов прогрессии.
Вернуться к содержанию учебника