Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№650 учебника 2023-2026 (стр. 184):
Дана арифметическая прогрессия \((a_n)\). Найдите:
а) \(d\), если \(a_{20}=1{,}7\) и \(a_{37}=0\);
б) \(a_{100}\), если \(a_{10}=270\) и \(d=-3\).
№650 учебника 2014-2022 (стр. 171):
Вычислите сумму первых девяти членов геометрической прогрессии, если:
а) \(c_1 = -4,\ q = 3\);
б) \(c_1 = 1,\ q = -2\);
в) \(c_1 = -2,\ q = 2\);
г) \(c_1 = 32,\ q = -0{,}5\).
№650 учебника 2023-2026 (стр. 184):
Вспомните:
№650 учебника 2014-2022 (стр. 171):
Вспомните:
№650 учебника 2023-2026 (стр. 184):
а) \(a_{20}=1{,}7\) и \(a_{37}=0\)
\(d - ?\)
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(\begin{cases} a_{20}=a_1+19d,\\ a_{37}=a_1+36d \end{cases}\)
\(\begin{cases} a_1+19d =1,7, \\ a_1+36d = 0 \end{cases}\) \((-)\)
\((a_1+19d) - (a_1+36d) = 1,7 - 0\)
\(\cancel{a_1}+19d - \cancel{a_1} - 36d = 1,7\)
\(-17d = 1,7\)
\(d = -\frac{1,7}{17}\)
\(d=-0{,}1\)
Ответ: \(d=-0{,}1\).
б) \(a_{10}=270\) и \(d=-3\)
\(a_{100} - ?\)
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_{10}=a_1+9d\)
\( a_1 + 9 \cdot(-3) = 270\)
\(a_1 - 27 = 270\)
\(a_1 = 270 + 27\)
\(a_1 = 297\)
\(a_{100}=a_1+99d\)
\(a_{100} = 297 + 99\cdot (-3) = \)
\(= 297 - 297 = 0\)
Ответ: \(a_{100}=0\).
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:
\[a_n=a_1+(n-1)d.\]
а) Нахождение разности прогрессии.
Если известны два члена прогрессии, можно составить систему из двух уравнений с неизвестными \(a_1\) и \(d\). Вычитая одно уравнение из другого, исключаем \(a_1\) и находим разность \(d\).
б) Нахождение сотого члена.
Если известен некоторый член прогрессии \(a_n\) и разность \(d\), то первый член можно найти, выразив его из формулы \(n\) - го члена арифметической прогрессии. Зная \(a_1\) и \(d\) по формуле \(n\) - го члена арифметической прогрессии можно найти любой ее член.
№650 учебника 2014-2022 (стр. 171):
а) \(\small S_9 = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} = \dfrac{-4\cdot(3^9-1)}{3-1} =\)
\(= \dfrac{-4\cdot(19683-1)}{2} =\)
\(=-2\cdot{19682} = -39364.\)
б) \(\small S_9 = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} = \dfrac{1\cdot((-2)^9-1)}{(-2)-1} =\)
\(=\dfrac{-512-1}{-3} = \dfrac{-513}{-3} = 171.\)
в) \(\small S_9 = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1} = \dfrac{-2\cdot(2^9-1)}{2-1} =\)
\(\small =\dfrac{-2\cdot(512-1)}{1} = -2\cdot511 = -1022.\)
г) \(\small S_9 = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{32\cdot((-0{,}5)^9-1)}{(-0{,}5)-1} =\)
\(\small =\dfrac{32\cdot\Biggl(\biggl(-\dfrac{1}{2}\biggr)^9-1\Biggr)}{-1,5} =\dfrac{32\cdot\Biggl(-\dfrac{1}{512}-1\Biggr)}{-\dfrac32} =\)
\(=\dfrac{32\cdot\Biggl(-\dfrac{513}{512}\Biggr)}{-\dfrac32} =32\cdot\dfrac{513}{512}\cdot \dfrac23=\)
\(=\dfrac{\cancel{32} ^{\color{red}{1}}\cdot \cancel{513}^{\color{blue}{171}}\cdot\cancel{2}^{\color{green}{1}}}{\cancel{512}_{\color{red}{\cancel{16}_{\color{green}{8}}}}\cdot \cancel{3}_{\color{blue}{1}}}=\dfrac{171}{8}= 21{,}375.\)
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:
\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)
В каждом пункте используется эта формула при \(n = 9\). Сначала возводится знаменатель прогрессии \(q\) в девятую степень, затем выполняются все арифметические действия строго по формуле.
При отрицательном знаменателе прогрессии (пункты б и г) степени \(q\) учитывают чередование знаков, что влияет на знак результата.
Все вычисления проведены последовательно, после чего полученные значения суммы упрощены.
Вернуться к содержанию учебника