Упражнение 651 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{2}{3},\ \dfrac{3}{4},\ \dots\) - арифметическая прогрессия.

\(a_1=\dfrac{2}{3}\),  \(a_2=\dfrac{3}{4}\)

\(d = a_2 - a_1=\dfrac{3}{4} ^{\color{blue}{\backslash3}} -\dfrac{2}{3} ^{\color{blue}{\backslash4}} =\)

\(=\dfrac{9-8}{12}=\dfrac{1}{12}\).

\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n\)

\(S_{10}=\dfrac{2\cdot\frac23+\frac{1}{12}\cdot(10-1)}{\cancel2}\cdot\cancel{10}  ^{\color{red}{5}} =\)

\(=\left(\frac43+\frac{1}{\cancel{12}_{\color{blue}{4}} }\cdot\cancel{9} ^{\color{blue}{3}}\right)\cdot10=\)

\(=\left(\frac43 ^{\color{red}{\backslash4}} +\frac{3}{4} ^{\color{red}{\backslash3}} \right)\cdot5=\)

\(=\left(\frac{16}{12} +\frac{9}{12} \right)\cdot5=\)

\(=\frac{25}{12}\cdot5=\dfrac{125}{12} = 10\dfrac{5}{12}\).

Ответ: \(S_{10} = 10\dfrac{5}{12}\).

б) \(\sqrt{3},\ \sqrt{12},\ \dots\)

\(a_1=\sqrt{3}\)

\(a_2=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)

\(d=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}\)

\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n\)

\(S_{10}=\dfrac{2\sqrt3+\sqrt3\cdot(10-1)}{\cancel2}\cdot\cancel{10}  ^{\color{red}{5}}=\)

\(=(2\sqrt3+9\sqrt3)\cdot5=\)

\(=11\sqrt3 \cdot 5 =55\sqrt3\).

Ответ: \(S_{10}=55\sqrt{3}\).

Пояснения:

Арифметическая прогрессия задаётся первым членом \(a_1\) и разностью \(d\), которая равна разности между вторым и первым членами:

\[d=a_2-a_1.\]

Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле:

\(S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\,n\).

а) \(b_n = 0{,}2\cdot 5^n\);

\(b_{n+1} = 0{,}2\cdot 5^{n+1}\);

\(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{0{,}2\cdot 5^{n+1}}{0{,}2\cdot 5^n}=\)

\(=\frac{\cancel{0{,}2\cdot 5^{n}}\cdot5}{\cancel{0{,}2\cdot 5^n}}=5\)

\(b_1 = 0{,}2\cdot 5^1=1.\)

\(⇒\) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия, со знаменателем \(q\), тогда:

\(\small S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{1\cdot(5^n-1)}{5-1}=\)

\(=\dfrac{5^n-1}{4}\).

Ответ: \( S_n=\dfrac{5^n-1}{4}\).

б) \(b_n = 3\cdot 2^{\,n-1}\);

\(b_{n+1} = 3\cdot 2^{\,n-1+1}=3\cdot 2^{\,n}.\)

\(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{3\cdot 2^{\,n}}{3\cdot 2^{\,n-1}}=\)

\(=\frac{\cancel{3\cdot 2^{\,n-1}}\cdot2}{\cancel{3\cdot 2^{\,n-1}}}=2.\)

\(b_1 = 3\cdot 2^{\,1-1}=3.\)

\(⇒\) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия, со знаменателем \(q\), тогда:

\(\small S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{3\cdot(2^n-1)}{2-1}=\)

\(=3(2^n-1)\).

Ответ: \(S_n=3(2^n-1)\).

в) \(b_n = 3^{\,1+n}\);

\(b_{n+1} = 3^{\,1+n+1}=3^{\,2+n}\);

\(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{3^{\,2+n}}{3^{\,1+n}}=\)

\(=\frac{3\cdot \cancel{3^{\,1+n}}}{\cancel{3^{\,1+n}}}=3.\)

\(b_1 = 3^{\,1+1}=3^2=9\);

\(⇒\) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия, со знаменателем \(q\), тогда:

\(S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{9\cdot(3^n-1)}{3-1}=\)

\(=\dfrac{9(3^n-1)}{2}=4,5(3^n-1)\).

Ответ: \(S_n=4,5(3^n-1)\).

г) \(b_n = 2^{\,n+2}\);

\(b_{n+1} = 2^{\,n+2+1}=2^{\,n+3}\);

\(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2^{\,n+2}}{2^{\,n+3}}=\frac12.\)

\(b_1 = 2^{\,1+2}=2^3=8\).

\(⇒\) \((b_n)\) - геометрическая прогрессия, со знаменателем \(q\), тогда:

\(S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}=\)

\(=\dfrac{8\cdot(2^n-1)}{2-1}=8(2^n-1)\).

Ответ: \(S_n=8(2^n-1)\).

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

Формула \(n\) - го члена геометрической прогрессии:

\({ b_n=b_1 \cdot q^{n-1}}\)

Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:

\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)

Чтобы доказать, что последовательность является геометрической прогрессией, достаточно записать формулу, которая выражает формулу \(n+1\) члена, а затем найти отношение \(\frac{b_{n+1}}{b_n}\), равное \(q\). Если мы получим число, то последовательность \((b_n)\) будет являться геометрической прогрессией.