Упражнение 670 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 186

Пусть три числа одновременно образуют арифметическую и геометрическую прогрессию.

Как арифметическая прогрессия:

\(a-d,\ a,\ a+d\).

Как геометрическая прогрессия:

\(\dfrac{a}{a-d}=\dfrac{a+d}{a}\).

\(a\cdot a=(a-d)(a+d)\).

\(a^2=a^2-d^2\)

\( d^2= a^2-a^2\)

\(d^2=0\).

\(d=0\).

Тогда все три числа равны:

\(a,\ a,\ a\) - арифметическая прогрессия с \(d = 0\).

\(a,\ a,\ a\) - геометрическая прогрессия с \(q = 1\).

Ответ: существуют три числа, которые составляют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессию.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Три последовательных члена арифметической прогрессии можно записать в виде \(a-d,\ a,\ a+d\).

2) Для трёх чисел, образующих геометрическую прогрессию, квадрат среднего равен произведению крайних:

\[a^2=(a-d)(a+d).\]

Анализ условия.

Если три числа являются одновременно членами арифметической и геометрической прогрессии, то для них должны выполняться оба свойства.

Из условия геометрической прогрессии получаем равенство

\(a^2=(a-d)(a+d)\).

После раскрытия скобок это равенство возможно только при \(d=0\).

Вывод.

Разность арифметической прогрессии равна нулю, значит все три числа равны между собой.