Упражнение 672 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 186

а) \(b_1=\dfrac{243}{256},\ q=\dfrac{2}{3},\ n=8\)

\[b_n=b_1\cdot q^{\,n-1}\]

\(b_8=\dfrac{243}{256}\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^{7}=\dfrac{\cancel{3^5}}{2^{\cancel8}}\cdot\dfrac{\cancel{2^7}}{{3^{\cancel7}} ^ {\color{blue}{2}}  }=\)

\(=\dfrac{1}{2\cdot 3^2}=\dfrac{1}{2\cdot 9}=\dfrac{1}{18}\).

Ответ: \(b_8=\dfrac{1}{18}\).

б) \(b_1=\sqrt{\dfrac{2}{3}},\ q=-\sqrt{6},\ n=5\)

\[b_n=b_1\cdot q^{\,n-1}\]

\(b_5=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot(-\sqrt{6})^{4}=\)

\(=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot(\sqrt{6})^{4} =\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot((\sqrt{6})^{2})^2 =\)

\(=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot 6^2 =\sqrt{\dfrac{2}{3}}\cdot 36 \)

\(=\sqrt{\dfrac{2}{3}^ {\color{blue}{\backslash3}}  }\cdot 36 = \sqrt{\dfrac{6}{9}}\cdot 36 =\)

\(=\dfrac{\sqrt{6}}{\cancel3}\cdot \cancel{36}  ^{\color{blue}{12}} =12\sqrt{6}\)

Ответ: \(b_5= 12\sqrt{6}\).

Пояснения:

Используемые формулы и правила:

1) Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[b_n=b_1 q^{n-1}.\]

2) Свойства степеней:

\(a^m\cdot a^k=a^{m+k},\)

\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}.\)

3) Чётная степень отрицательного числа положительна.

4) Свойства арифметического квадратного корня:

\((\sqrt a)^2 = a\),

\(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\).