Вернуться к содержанию учебника
В геометрической прогрессии \((x_n)\):
а) \(q=-\dfrac{1}{3},\ n=5,\ S_n=20\dfrac{1}{3};\) найдите \(x_1\) и \(x_n\);
б) \(x_1=11,\ x_n=88,\ S_n=165;\) найдите \(q\) и \(n\);
в) \(x_1=\dfrac{1}{2},\ q=-\dfrac{1}{2},\ S_n=\dfrac{21}{64};\) найдите \(n\) и \(x_n\);
г) \(q=\sqrt{3},\ x_n=18\sqrt{3},\ S_n=26\sqrt{3}+24;\) найдите \(x_1\) и \(n\).
Вспомните:
а) \((x_n)\) - геометрическая прогрессия.
\(q=-\dfrac{1}{3},\ n=5,\ S_n=20\dfrac{1}{3},\)
\(x_1 - ?\) и \(x_n - ?\)
\(S_n=\dfrac{x_1(q^n - 1)}{q-1}\)
\[S_5=\frac{x_1(q^5-1)}{q-1}\]
\(20\dfrac{1}{3}= \frac{x_1\cdot\left(\left(-\dfrac{1}{3}\right)^5-1\right)}{-\dfrac{1}{3}-1}\)
\(\dfrac{61}{3}= \frac{x_1\cdot\left(-\dfrac{1}{243}-1\right)}{-1\dfrac{1}{3}}\)
\(\dfrac{61}{3}= \frac{x_1\cdot\left(-1\dfrac{1}{243}\right)}{-1\dfrac{1}{3}}\)
\(\dfrac{61}{3}= \frac{x_1\cdot\dfrac{244}{243}}{\dfrac{4}{3}}\)
\(\dfrac{61}{3}= x_1\cdot\dfrac{ ^{\color{blue}{61}}\cancel{244}}{_{\color{blue}{81}} \cancel{243}}\cdot\dfrac{\cancel3}{\cancel4}\)
\(\dfrac{61}{3}= x_1\cdot\dfrac{61}{81}\)
\(x_1 = \dfrac{61}{3} : \dfrac{61}{81}\)
\(x_1 = \dfrac{\cancel{61}}{\cancel3} \cdot \dfrac{\cancel{81} ^{\color{blue}{27}} }{\cancel{61}}\)
\(x_1 = 27\)
\(x_5=x_1q^{4}=27\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)^4=\)
\(=\cancel{27}\cdot \dfrac{1}{\cancel{81}_{\color{blue}{3}} }=\dfrac{1}{3}\).
Ответ: \(x_1 = 27\), \(x_5=\dfrac{1}{3}\).
б) \((x_n)\) - геометрическая прогрессия.
\(x_1=11,\ x_n=88,\ S_n=165,\)
\(q - ?\) и \(n - ?\)
\(S_n = \dfrac{x_nq - x_1}{q -1}\)
\(165 = \dfrac{88q - 11}{q - 1}\) \(/\times(q -1)\)
\(165(q-1) = 88q - 11\)
\(165q - 165 = 88q - 11\)
\(165q - 88q = 165 - 11\)
\(77q = 154\)
\(q = \frac{154}{77}\)
\(q = 2\)
\[x_n=x_1q^{n-1}\]
\[88=112^{n-1}\]
\(2^{n-1}=8\)
\(2^{n-1}=2^3\)
\(n - 1 = 3\)
\(n = 3 + 1\)
\(n = 4\)
Ответ: \(q = 2\), \(n = 4\).
в) \((x_n)\) - геометрическая прогрессия.
\(x_1=\dfrac{1}{2},\ q=-\dfrac{1}{2},\ S_n=\dfrac{21}{64},\)
\(n - ?\) и \(x_n - ?\)
\(S_n=\dfrac{x_1(q^n - 1)}{q-1}\)
\(\dfrac{21}{64}= \frac{\dfrac{1}{2}\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}\)
\(\dfrac{21}{64}= \frac{\dfrac{1}{2}\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)}{1+\dfrac{1}{2}}\)
\(\dfrac{21}{64}= \frac{\dfrac{1}{2}\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)}{\dfrac{3}{2}}\)
\(\dfrac{21}{64}= \dfrac{1}{\cancel2}\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)\cdot\dfrac{\cancel2}{3}\)
\(\dfrac{21}{64}= \dfrac{1}{3}\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)\)
\(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n = \dfrac{21}{64} : \dfrac{1}{3}\)
\(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n = \dfrac{21}{64} \cdot 3\)
\(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n = \dfrac{63}{64}\)
\(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n =1 - \dfrac{63}{64}\)
\(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n =\dfrac{1}{64}\)
\(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n =\left(-\dfrac{1}{2}\right)^6\)
\(n = 6\)
\(x_6=x_1q^{5}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)^5=\)
\(=\dfrac{1}{2}\cdot \left(-\dfrac{1}{32}\right)=-\dfrac{1}{64}\)
Ответ: \(n = 6\), \(x_6 = -\dfrac{1}{64}\).
г) \((x_n)\) - геометрическая прогрессия.
\(q=\sqrt{3},\ x_n=18\sqrt{3},\)
\(S_n=26\sqrt{3}+24,\)
\(x_1 - ?\) и \(n - ?\)
\(S_n = \dfrac{x_nq - x_1}{q -1}\)
\(26\sqrt{3}+24 = \dfrac{18\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} - x_1}{\sqrt{3} -1}\)
\(26\sqrt{3}+24 = \dfrac{18\cdot3 - x_1}{\sqrt{3} -1}\)
\(26\sqrt{3}+24 = \dfrac{54 - x_1}{\sqrt{3} -1}\) \(/\times(\sqrt{3} -1)\)
\((26\sqrt{3}+24)(\sqrt{3} -1) = 54 - x_1\)
\(26\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} - 26\sqrt{3} + 24\sqrt{3} - 24 = 54 - x_1\)
\(26\cdot3 - 2\sqrt{3} - 24 = 54 - x_1\)
\(78 - 2\sqrt{3} - 24 = 54 - x_1\)
\(54 - 2\sqrt{3} - 24 = 54 - x_1\)
\( x_1 = 54 - 54 + 2\sqrt{3}\)
\( x_1 = 2\sqrt{3}\)
\[x_n=x_1q^{n-1}\]
\(18\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^{n-1}\)
\(18\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^{n-1}\) \(/ : 2\sqrt{3}\)
\(9 = (\sqrt{3})^{n-1}\)
\( (\sqrt{3})^{4} = (\sqrt{3})^{n-1}\)
\(n - 1 = 4\)
\(n = 4 + 1\)
\(n = 5\)
Ответ: \( x_1 = 2\sqrt{3}\), \(n = 5\).
Пояснения:
Правила и формулы для геометрической прогрессии:
\[x_n=x_1q^{\,n-1};\]
\(S_n=\dfrac{x_1(q^n - 1)}{q-1};\)
\(S_n = \dfrac{x_nq - x_1}{q -1}\).
Свойства степени:
\(\left(\frac{a}{b}\right)^k=\frac{a^k}{b^k},\)
\(q^m\cdot q^k=q^{m+k}\).
Свойство корня:
\(\sqrt a \cdot \sqrt a = a\).
Вернуться к содержанию учебника