Упражнение 671 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 186

а) \(x_n=2^n\)

\(\dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\dfrac{2^{n+1}}{2^n} = 2  ^{\cancel n + 1 - \cancel n} =2\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является геометрической.

Ответ: последовательность \((x_n)\) является геометрической.

б) \(x_n=3^n\)

\(\dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\dfrac{3^{n+1}}{3^n}=3  ^{\cancel n + 1 - \cancel n} =3\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является геометрической.

Ответ: последовательность \((x_n)\) является геометрической.

в) \(x_n=n^2\)

\(\dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\dfrac{(n+1)^2}{n^2} =\)

\(=\dfrac{n^2 + 2n+1}{n^2} =\)

\(=\dfrac{n^2}{n^2} + \dfrac{2\cancel n}{n^{\cancel2}} + \dfrac{1}{n^2}=\)

\(=1 + \dfrac{2}{n} + \dfrac{1}{n^2} \) - зависит от \(n\), поэтому последовательность не является геометрической.

Ответ: последовательность \((x_n)\) не является геометрической.

г) \(x_n=a b^n\), где \(a\ne 0,\ b\ne 0\)

\(\dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\dfrac{\cancel ab^{n+1}}{\cancel ab^n}=b^{\cancel n+1-\cancel n}=b\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность является геометрической.

Ответ: последовательность \((x_n)\) является геометрической.

Пояснения:

Используемые определения и правила:

1) Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\):

\[b_{n+1}=b_n\cdot q.\]

2) Знаменатель прогрессии \(q\) находится по формуле:

\[q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.\]

3) Степени с одинаковым основанием при делении дают разность показателей:

\[\frac{a^{n+1}}{a^n} = a^{\cancel n + 1 - \cancel n} = a^1 = a.\]

Разбор случаев.

а), б) Последовательности вида \(c^n\) всегда являются геометрическими прогрессиями со знаменателем \(c\).

в) В последовательности \(n^2\) отношение соседних членов меняется, поэтому она не является геометрической.

г) Последовательность вида \(ab^n\) по определению является геометрической прогрессией со знаменателем \(b\).