Вернуться к содержанию учебника
Пусть \(a_1, a_2, \ldots\) — арифметическая прогрессия с положительными членами. Докажите, что сумма первых \(n\) членов последовательности \((x_n)\), где
\[ x_n=\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}}, \]
равна
\[ \frac{n}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_{n+1}}}. \]
Введите текст
Так как \(a_1, a_2, \ldots\) — арифметическая прогрессия, то
\[ a_{n+1}-a_n=d, \]
где \(d\) — разность прогрессии.
Тогда
\[ x_n=\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}}\cdot \frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}} \]
\[ x_n=\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{a_{n+1}-a_n} \]
\[ x_n=\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{d}. \]
Так как
\[ a_n=a_1+(n-1)d, \]
то
\[ a_{n+1}=a_1+nd. \]
Рассмотрим сумму первых \(n\) членов:
\[ S_n=x_1+x_2+\cdots+x_n. \]
Подставим найденное выражение для \(x_n\):
\[ S_n=\frac{\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}}{d}+\frac{\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2}}{d}+\cdots+\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{d}. \]
Вынесем \(\frac{1}{d}\):
\[ S_n=\frac{1}{d}\Bigl((\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1})+(\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2})+\cdots+(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n})\Bigr). \]
Сократим одинаковые слагаемые:
\[ S_n=\frac{1}{d}\left(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1}\right). \]
Теперь преобразуем правую часть формулы, которую нужно получить:
\[ \frac{n}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_{n+1}}}\cdot \frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1}}{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1}} \]
\[ =\frac{n(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1})}{a_{n+1}-a_1}. \]
Но так как \(a_n\) — арифметическая прогрессия, то
\[ a_{n+1}-a_1=nd. \]
Следовательно,
\[ \frac{n(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1})}{a_{n+1}-a_1} = \frac{n(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1})}{nd} = \frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1}}{d}. \]
Значит,
\[ S_n=\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1}}{d}=\frac{n}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_{n+1}}}. \]
Следовательно, сумма первых \(n\) членов последовательности \((x_n)\) действительно равна
\[ \frac{n}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_{n+1}}}. \]
Пояснения:
Сначала выпишем правила и формулы, которые используются в доказательстве.
Для арифметической прогрессии разность соседних членов постоянна:
\[ a_{n+1}-a_n=d. \]
Общий член арифметической прогрессии выражается формулой
\[ a_n=a_1+(n-1)d. \]
Отсюда сразу следует:
\[ a_{n+1}=a_1+nd \]
и
\[ a_{n+1}-a_1=nd. \]
Также используется формула разности квадратов:
\[ u^2-v^2=(u-v)(u+v). \]
Из неё получается полезное преобразование:
\[ (\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=A-B. \]
Именно поэтому дробь вида
\[ \frac{1}{\sqrt{A}+\sqrt{B}} \]
удобно домножать на
\[ \frac{\sqrt{B}-\sqrt{A}}{\sqrt{B}-\sqrt{A}}. \]
Теперь разберём саму задачу. Каждый член последовательности \((x_n)\) задан формулой
\[ x_n=\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}}. \]
В таком виде сумму считать неудобно. Поэтому сначала преобразуем один член. Домножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю:
\[ \sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}. \]
Тогда в знаменателе получаем:
\[ (\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n})(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n})=a_{n+1}-a_n. \]
Но так как \(a_n\) — арифметическая прогрессия, разность \(a_{n+1}-a_n\) всегда равна одному и тому же числу \(d\). Поэтому каждый член можно переписать так:
\[ x_n=\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{d}. \]
Это очень важный шаг, потому что теперь сумма становится телескопической. Это значит, что при сложении многие слагаемые сокращаются:
\[ (\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1})+(\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2})+\cdots+(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}). \]
Здесь \(\sqrt{a_2}\) сокращается с \(-\sqrt{a_2}\), \(\sqrt{a_3}\) сокращается с \(-\sqrt{a_3}\), и так далее. В результате остаются только крайние слагаемые:
\[ \sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1}. \]
Поэтому сумма первых \(n\) членов равна
\[ S_n=\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1}}{d}. \]
Остаётся показать, что это то же самое, что
\[ \frac{n}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_{n+1}}}. \]
Для этого снова применяем сопряжённое выражение. Домножаем:
\[ \frac{n}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_{n+1}}}\cdot \frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1}}{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1}}. \]
В знаменателе получается
\[ a_{n+1}-a_1. \]
Но для арифметической прогрессии
\[ a_{n+1}-a_1=nd. \]
Поэтому дробь принимает вид
\[ \frac{n(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1})}{nd}=\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1}}{d}. \]
Это совпадает с уже найденной суммой \(S_n\). Значит, формула доказана.
Главная идея задачи состоит в двух приёмах: сначала рационализировать знаменатель, а затем заметить, что сумма становится телескопической. Именно это позволяет быстро найти сумму без вычисления каждого члена по отдельности.
Вернуться к содержанию учебника