Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№871 учебника 2023-2026 (стр. 212):
Пусть \(a_1, a_2, \ldots\) — арифметическая прогрессия с положительными членами. Докажите, что сумма первых \(n\) членов последовательности \((x_n)\), где \( x_n=\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}}, \) равна \( \frac{n}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_{n+1}}}. \)
№871 учебника 2014-2022 (стр. 220):
Чемодан можно открыть, если правильно набрать шифр 22075 (при наборе цифра каждого разряда может быть любой от 0 до 9). Какова вероятность того, что человек, набрав произвольно номер из 5 цифр, сможет открыть чемодан?
№871 учебника 2023-2026 (стр. 212):
№871 учебника 2014-2022 (стр. 220):
Вспомните:
№871 учебника 2023-2026 (стр. 212):
\(a_1, a_2, \ldots\) — арифметическая прогрессия, где \(a_1, a_2, \ldots >0\), пусть \(d=a_{n+1}-a_n\) — разность прогрессии.
\(\small x_n=\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}}^{\color{red}{\backslash{(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n})}}}=\)
\(\small =\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}}\cdot \frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}= \)
\(\small=\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{a_{n+1}-a_n}=\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{d}. \)
\(x_1=\frac{\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}}{d}\)
\(x_2=\frac{\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2}}{d}\)
\(\dots\)
\(x_{n-1}=\frac{\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}}}{d}\)
\( S_n=x_1+x_2+\cdots+x_{n-1}+x_n =\)
\(\small =\frac{\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}}{d}+\frac{\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2}}{d}+\cdots\)
\(\small \cdots+\frac{\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}}}{d}+\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{d}=\)
\(\small =\frac{\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1}+\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2}}{d}+\cdots\)
\(\small \cdots+\frac{\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{d}=\)
\(\small =\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1}}{d}^{\color{red}{\backslash{(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1}})}}= \)
\(\small =\frac{(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1})(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1})}{d(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1})}=\)
\(\small =\frac{\bigg(\sqrt{a_{n+1}}\bigg)^2-\bigg(\sqrt{a_1}\bigg)^2}{d(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1})}=\)
\(=\frac{a_{n+1}-a_1}{d(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1})}=\)
\(=\frac{a_1+nd-a_1}{d(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1})}=\)
\(=\frac{nd}{d(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1})}=\)
\(=\frac{n}{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1}}\), что и требовалось доказать.
Пояснения:
Сначала выпишем правила и формулы, которые используются в доказательстве.
Для арифметической прогрессии разность соседних членов постоянна:
\[ a_{n+1}-a_n=d. \]
Общий член арифметической прогрессии выражается формулой
\[ a_n=a_1+(n-1)d. \]
Также используется формула разности квадратов:
\[ a^2-b^2=(a-b)(a+v). \]
Из неё получается полезное преобразование:
\[ (\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=A-B. \]
Именно поэтому дробь вида
\[ \frac{1}{\sqrt{A}+\sqrt{B}} \]
удобно домножать на
\[ \frac{\sqrt{B}-\sqrt{A}}{\sqrt{B}-\sqrt{A}}. \]
Теперь разберём саму задачу. Каждый член последовательности \((x_n)\) задан формулой
\[ x_n=\frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n+1}}}. \]
В таком виде сумму считать неудобно. Поэтому сначала преобразуем один член. Домножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю:
\[ \sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}. \]
Тогда в знаменателе получаем:
\[ (\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n})(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n})=a_{n+1}-a_n. \]
Но так как \(a_n\) — арифметическая прогрессия, разность \(a_{n+1}-a_n\) всегда равна одному и тому же числу \(d\). Поэтому каждый член можно переписать так:
\[ x_n=\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{d}. \]
Это очень важный шаг, потому что теперь сумма становится телескопической. Это значит, что при сложении многие слагаемые сокращаются:
\[ (\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1})+(\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2})+\cdots+(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}). \]
Здесь \(\sqrt{a_2}\) сокращается с \(-\sqrt{a_2}\), \(\sqrt{a_3}\) сокращается с \(-\sqrt{a_3}\), и так далее. В результате остаются только крайние слагаемые:
\[ \sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1}. \]
Поэтому сумма первых \(n\) членов равна
\[ S_n=\frac{\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_1}}{d}. \]
Остаётся показать, что это то же самое, что
\[ \frac{n}{\sqrt{a_1}+\sqrt{a_{n+1}}}. \]
Главная идея задачи состоит в двух приёмах: сначала рационализировать знаменатель, а затем заметить, что сумма становится телескопической. Именно это позволяет быстро найти сумму без вычисления каждого члена по отдельности.
№871 учебника 2014-2022 (стр. 220):
\( n = 10^5 = 100000 \)
\( P = \frac{1}{100000} = 0,00001\)
Ответ: \(0,00001\).
Пояснения:
Используем классическое определение вероятности:
\[ P = \frac{\text{благоприятные исходы}}{\text{все возможные исходы}} \]
Каждая цифра в коде может принимать одно из 10 значений:
\[ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \]
Так как код состоит из 5 цифр, общее количество возможных комбинаций:
\[ 10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10=10^5 = 100000 \]
Только одна комбинация является правильной:
\[ 22075 \]
По формуле вероятности:
\[ P = \frac{1}{100000} \]
Вероятность очень мала, так как возможных комбинаций очень много, а подходящая только одна.
Вернуться к содержанию учебника