Вероятность равновозможных событий

В ряде случаев вероятность события можно оценить непосредственно из условий самого опыта или наблюдения путем рассуждений, не прибегая к испытаниям.

Рассмотрим правильный игральный кубик. При его бросании шансы выпадения на его верхней грани каждого числа очков от 1 до 6 одинаковы, то есть нет оснований считать, что какой-нибудь из исходов более возможен, чем остальные. Говорят, что существует 6 равновозможных исходов опыта с бросанием кубика: выпадение 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков.

Равновозможные исходы - это исходы, шансы которых одинаковы в определенном опыте или наблюдении.

Исходы, при которых происходит некоторое событие, называются благоприятными исходами для этого события.

Рассмотрим событие \(A\), при котором на кубике выпадает число очков, кратное 3. Для этого исхода благоприятными являются только два исхода из шести равновозможных исходов: когда выпало 3 очка и когда выпало 6 очков. Значит отношение числа благоприятных исходов к числу всех исходов в рассматриваемом примере равно \(\frac 26\). Это отношение считают вероятностью события \(A\) и пишут:

\(P(B) = \frac26\).

Определение:

если все исходы какого-либо испытания равновозможны, то вероятность события в этом испытании равна отношению числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.

Такой подход к вычислению вероятности называют классическим.

Что означает на практике, что вероятность рассмотренного события \(A\) равна \(\frac26\)? Конечно же, это не означает, что при шести бросках кубика число очков, кратное 3, выпадет ровно 2 раза. Возможно, что оно выпадет 1 раз, 3 раза, не выпадет совсем. Но если провести большое число испытаний, то относительная частота появления события \(A\) будет мало отличаться от \(\frac26\), то есть от \(\frac13\). Вообще при увеличении числа испытаний со случайными исходами относительная частота появления случайного события приближается к его вероятности.

Сопоставляя статистический и классический подходы к вычислению вероятностей, можно сделать вывод, что статистический подход предполагает фактическое проведение испытания, а при классическом подходе не требуется, чтобы испытание было проведено в действительности.

Для того чтобы найти вероятность некоторого события (при классическом подходе), надо правильно определить число равновозможных исходов испытания и число благоприятных для этого события исходов.

При решении некоторых задач бывает удобно воспользоваться свойством вероятностей противоположных событий.

Рассмотрим пример. Пусть событие \(A\) означает, что выпало 1 очко, \(B\) - что выпало более 1 очка. Всякое наступление события \(A\) означает ненаступление события \(B\), а ненаступление события \(A\) - наступление события \(B\). В таких случаях говорят, что \(A\) и \(B\) - противоположные события.

Найдем вероятности событий \(A\) и \(B\). Для события \(A\) благоприятным является один исход из шести равновозможных исходов, а для события \(B\) - пять исходов из шести. Значит,

\(P(A) = \frac16\),     \(P(B) = \frac56\).

Видим, что \(P(A) + (P(B) = 1\).

Вывод: сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Для противоположного события используют специальное обозначение: для события \(A\) противоположное событие \(\overline{A}\), тогда можно записать:

\(P(A) + (P(\overline{A}) = 1\).

Определение:

достоверное событие - событие, которое при проведении некоторого опыта или наблюдения происходит всегда. Например, достоверным событием будет событие, при котором на игральном кубике при броске выпало менее 7 очков, так как каждый из исходов 1, 2, 3, 4, 5, 6 является благоприятным.

Вероятность достоверного события равна единице.

Определение:

Невозможное событие - событие, которое не может произойти ни при каком исходе опыта или наблюдения. Например, невозможным событием будет событие, при котором на игральном кубике при броске выпало 7 очков, так как очевидно, что это событие произойти не может.

Вероятность невозможного события равна нулю.

Пусть некоторое испытание имеет \(n\) равновозможных исходов, из которых \(m\) исходов благоприятны для события \(A\). Тогда \(P(A) = \frac mn\). Так как \(m \le n\), то \(\frac mn \le 1\), то есть \(P(A) \le 1\). С другой стороны, всегда \(P(A) \ge 0\). Следовательно, \(0 \le P(A) \le 1\).

Вероятностная шкала:

Точкой \(0\) изображается вероятность невозможного события, а точкой \(1\) - вероятность достоверного события. Если событие \(A\) не является ни невозможным, ни достоверным событием, то \(P(A)\) изображается точкой, расположенной между \(0\) и \(1\). Чем меньше вероятность наступления события \(A\), те ближе к \(0\) расположена точка \(P(A)\). Чем больше вероятность наступления события \(A\), тем ближе к \(1\) расположена точка \(P(A)\).