Вернуться к содержанию учебника
Упростите выражение:
а) \(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\);
б) \(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\).
Введите текст
а) Обозначим
\[ x=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}. \]
Пусть
\[ u=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7},\qquad v=\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}. \]
Тогда
\[ x=u-v. \]
Найдём произведение:
\[ uv=\sqrt[3]{(5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}-7)} \]
\[ uv=\sqrt[3]{(5\sqrt{2})^2-7^2} \]
\[ uv=\sqrt[3]{50-49} \]
\[ uv=\sqrt[3]{1}=1. \]
Теперь возведём \(x\) в куб:
\[ x^3=(u-v)^3 \]
\[ x^3=u^3-v^3-3uv(u-v) \]
\[ x^3=(5\sqrt{2}+7)-(5\sqrt{2}-7)-3\cdot 1\cdot x \]
\[ x^3=14-3x. \]
Перенесём всё в одну сторону:
\[ x^3+3x-14=0. \]
Подберём целый корень:
\[ 2^3+3\cdot 2-14=8+6-14=0. \]
Значит,
\[ x=2. \]
Следовательно,
\[ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=2. \]
б) Обозначим
\[ y=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}. \]
Пусть
\[ u=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}},\qquad v=\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}. \]
Тогда
\[ y=u+v. \]
Найдём произведение:
\[ uv=\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} \]
\[ uv=\sqrt[3]{4-5} \]
\[ uv=\sqrt[3]{-1}=-1. \]
Теперь возведём \(y\) в куб:
\[ y^3=(u+v)^3 \]
\[ y^3=u^3+v^3+3uv(u+v) \]
\[ y^3=(2+\sqrt{5})+(2-\sqrt{5})+3\cdot(-1)\cdot y \]
\[ y^3=4-3y. \]
Перенесём всё в одну сторону:
\[ y^3+3y-4=0. \]
Подберём целый корень:
\[ 1^3+3\cdot 1-4=1+3-4=0. \]
Значит,
\[ y=1. \]
Следовательно,
\[ \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1. \]
Пояснения:
В обоих заданиях используется одна и та же идея: сложное выражение с кубическими корнями обозначается одной буквой, после чего это выражение возводится в куб.
Основные формулы, которые здесь нужны:
\[ (a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b), \]
\[ (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b). \]
Также используется формула разности квадратов:
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \]
В пункте а) удобно обозначить
\[ u=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7},\qquad v=\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}. \]
Тогда всё выражение равно \(u-v\). Чтобы применить формулу куба разности, нужно знать не только \(u^3\) и \(v^3\), но и произведение \(uv\).
Оно находится так:
\[ uv=\sqrt[3]{(5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}-7)}. \]
Дальше используется разность квадратов:
\[ (5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}-7)=(5\sqrt{2})^2-7^2=50-49=1. \]
Значит, \(uv=1\). После этого формула куба разности даёт уравнение для \(x\). Получается кубическое уравнение
\[ x^3+3x-14=0. \]
Проверкой видно, что \(x=2\) — его корень. Значит, всё выражение из пункта а) равно \(2\).
В пункте б) рассуждение полностью аналогично, только теперь берётся сумма:
\[ u=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}},\qquad v=\sqrt[3]{2-\sqrt{5}},\qquad y=u+v. \]
Сначала находим произведение:
\[ uv=\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}=\sqrt[3]{4-5}=\sqrt[3]{-1}=-1. \]
Теперь применяем формулу куба суммы. После подстановки получается уравнение
\[ y^3+3y-4=0. \]
Легко проверить, что \(y=1\) удовлетворяет этому уравнению. Значит, выражение из пункта б) равно \(1\).
Итак, ответы:
\[ \text{а) }2,\qquad \text{б) }1. \]
Вернуться к содержанию учебника