Вернуться к содержанию учебника
Докажите, что если \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\), то \(x=y=z\).
Введите текст
Рассмотрим выражение
\[ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2. \]
Раскроем скобки:
\[ (x-y)^2=x^2-2xy+y^2, \]
\[ (y-z)^2=y^2-2yz+z^2, \]
\[ (z-x)^2=z^2-2zx+x^2. \]
Сложим:
\[ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2= \]
\[ x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2. \]
Приведём подобные члены:
\[ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx. \]
Вынесем \(2\):
\[ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx). \]
По условию
\[ x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx. \]
Значит,
\[ x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0. \]
Тогда
\[ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0. \]
Так как квадрат любого числа неотрицателен, то
\[ (x-y)^2\geq 0,\qquad (y-z)^2\geq 0,\qquad (z-x)^2\geq 0. \]
Сумма трёх неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю.
Следовательно,
\[ (x-y)^2=0,\qquad (y-z)^2=0,\qquad (z-x)^2=0. \]
Значит,
\[ x-y=0,\qquad y-z=0,\qquad z-x=0. \]
Отсюда
\[ x=y,\qquad y=z. \]
Следовательно,
\[ x=y=z. \]
Пояснения:
В этой задаче используется важный приём: нужно преобразовать данное равенство так, чтобы получить сумму квадратов.
Основные правила, которые здесь применяются:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \]
Также используется свойство квадрата числа:
\[ a^2\geq 0 \]
для любого числа \(a\).
Это свойство очень важно: квадрат не может быть отрицательным. Поэтому если сумма нескольких квадратов равна нулю, то каждый квадрат обязан быть равен нулю.
Почему в решении рассматривается именно выражение
\[ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2? \]
Потому что если удастся доказать, что эта сумма равна нулю, то сразу получится:
\[ x-y=0,\qquad y-z=0,\qquad z-x=0, \]
а значит, все три числа равны между собой.
После раскрытия скобок в сумме квадратов появляются члены \(x^2\), \(y^2\), \(z^2\), а также произведения \(xy\), \(yz\), \(zx\). Именно такие выражения есть и в условии задачи. Поэтому это преобразование подходит очень удачно.
После сложения получаем:
\[ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx). \]
Теперь используется условие задачи:
\[ x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx. \]
Если перенести правую часть влево, получится:
\[ x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0. \]
Значит, вся сумма квадратов равна нулю:
\[ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0. \]
Но каждый квадрат неотрицателен. Поэтому единственная возможность для суммы быть равной нулю — это когда каждый квадрат отдельно равен нулю.
Из этого следует:
\[ x=y,\qquad y=z,\qquad z=x. \]
Следовательно, все три числа равны:
\[ x=y=z. \]
Главная идея задачи состоит в том, что условие надо не пытаться решать напрямую, а свести к сумме квадратов разностей. Это очень распространённый и полезный приём в задачах на доказательство равенства нескольких чисел.
Вернуться к содержанию учебника