Упражнение 880 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 212

Из первого уравнения выразим \(x\):

\[ x=14-y-z. \]

Подставим во второе уравнение:

\[ 14-y-z+yz=19. \]

Перенесём \(14\):

\[ yz-y-z=5. \]

Прибавим \(1\) к обеим частям:

\[ yz-y-z+1=6. \]

Разложим:

\[ (y-1)(z-1)=6. \]

Так как \(y\) и \(z\) — натуральные числа, рассмотрим разложения числа \(6\):

\[ 6=1\cdot 6 \]

\[ 6=2\cdot 3 \]

\[ 6=3\cdot 2 \]

\[ 6=6\cdot 1 \]

1) \((y-1)=1,\ (z-1)=6\)

\[ y=2,\quad z=7 \]

\[ x=14-2-7=5 \]

2) \((y-1)=2,\ (z-1)=3\)

\[ y=3,\quad z=4 \]

\[ x=14-3-4=7 \]

3) \((y-1)=3,\ (z-1)=2\)

\[ y=4,\quad z=3 \]

\[ x=14-4-3=7 \]

4) \((y-1)=6,\ (z-1)=1\)

\[ y=7,\quad z=2 \]

\[ x=14-7-2=5 \]

Следовательно, решения системы:

\[ (5,2,7),\ (7,3,4),\ (7,4,3),\ (5,7,2). \]

Пояснения:

Главная идея решения — выразить одну переменную через другие и подставить её во второе уравнение.

Из первого уравнения системы:

\[ x+y+z=14 \]

можно выразить переменную \(x\):

\[ x=14-y-z. \]

После подстановки во второе уравнение получаем выражение только с переменными \(y\) и \(z\):

\[ 14-y-z+yz=19. \]

После преобразования получается:

\[ yz-y-z=5. \]

Чтобы разложить выражение на множители, используется приём добавления и вычитания единицы:

\[ yz-y-z+1. \]

Тогда выражение можно представить в виде произведения:

\[ (y-1)(z-1). \]

После добавления \(1\) к обеим частям уравнения получаем:

\[ (y-1)(z-1)=6. \]

Теперь задача сводится к разложению числа \(6\) на множители. Поскольку \(y\) и \(z\) — натуральные числа, рассматриваются только положительные делители.

Для каждого разложения числа \(6\) находятся значения \(y\) и \(z\), после чего по формуле \(x=14-y-z\) вычисляется \(x\).

Таким образом получаются все возможные натуральные решения системы.