Задание 487 - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник

Дано: АВСD - равнобедренная трапеция, АС = , М, N, K и Р - середины сторон АВ, ВС, СD и AD.

Найти:

Решение:

1. МNKР - параллелограмм (по теореме Вариньона), = 2(МN + NK).

2. М и N - середины сторон АВ и ВС, MN - средняя линия АВС, MN = АС = .

3. N и K - середины сторон BC и СD, NK - средняя линия ВСD, NK = ВD = (т.к. ВD = АС - диагонали равнобедренной трапеции).

4. = 2( + ) = 2.

Ответ: = 2.

Пояснения:

Середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (теорема Вариньона). По условию М, N, K и Р - середины сторон АВ, ВС, СD и AD, значит, четырехугольник МNKР - параллелограмм. У параллелограмма противолежащие стороны равны, поэтому периметр параллелограмма МNKР:

= 2(МN + NK).

Средняя линия треугольника - отрезок, который соединяет середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

По условию, М и N - середины сторон АВ и ВС, следовательно, MN - средняя линия АВС, тогда MN = АС = . Также N и K - середины сторон BC и СD, следовательно, NK - средняя линия ВСD, тогда NK = ВD = (учитываем то, что ВD = АС =  , так как диагонали равнобедренной трапеции равны).

Итак, = 2(МN + NK), при этом

MN = и NK = [img162263, тогда:

= 2( + ) = 2.