Упражнение 696 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 149

Пояснения:

Чтобы представить выражение в виде многочлена, нужно выполнить умножение многочлена на многочлен.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить (мы говорим об алгебраической сумме - выражение, которое можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел). В решении выделены одинаковым цветом подобные слагаемые, их мы складываем (вычитаем), тем самым упрощая выражение.

Также, выполняя умножение многочлена на многочлен, помним, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степени складывают, а основание оставляют тем же.

Пусть \(a = 2k + 1\), тогда \(b = 2k + 3\),

\(c = 2k + 5\), \(d = 2k + 7\).

\(cd - ab = \)

\((2k+5)(2k+7) - (2k+1)(2k+3) =\)

\( = \bigl(4k^2 + 14k + 10k + 35\bigr) - \bigl(4k^2 + 6k + 2k + 3\bigr) =\)

\(=(4k^2 + 24k + 35) - (4k^2 + 8k + 3) =\)

\( = 4k^2 + 24k + 35 - 4k^2 - 8k - 3 =\)

\(=16k + 32 = 16(k + 2) \) - делится на 16.

Пояснения:

Использованные правила:

1. Общее представление нечётного числа: \(2k+1\).

2. Раскрытие произведения:

\((x+y)(u+v)=xu+xv+yu+yv\).

3. Вычитание многочленов: чтобы вычесть \((P(x) - Q(x))\), меняем знак у всех членов \(Q(x)\) и складываем с \(P(x)\).

4. Приведение подобных членов:

\(k_1X + k_2X = (k_1 + k_2)X.\)

5. Распределительное свойство умножения (вынос множителя за скобки):

\(x(y+z)=xy+xz\).

6. Критерий делимости: если число представимо в виде \(k\cdot m\), где \(m\) какой-либо многочлен, то оно кратно \(k\).

Пояснения к шагам:

- Введено общее представление для последовательных нечётных чисел через переменную \(k\).

- Раскрытие скобок и приведение подобных членов позволяют получить выражение в виде \(16k+32\).

- Вынос общего множителя 16 показывает, что разность кратна 16 по критерию делимости.