Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№712 учебника 2023-2025 (стр. 151):
Пусть \(a, b, c\) и \(d\) — четыре последовательных нечётных числа. Докажите, что разность \(cd - ab\) кратна 16.
№712 учебника 2013-2022 (стр. 151):
Представьте в виде произведения многочлен:
а) \(mn - mk + xk - xn\);
б) \(x^2 + 7x - ax - 7a\);
в) \(3m - mk + 3k - k^2\);
г) \(xk - xy - x^2 + yk\).
№712 учебника 2023-2025 (стр. 151):
Вспомните:
№712 учебника 2013-2022 (стр. 151):
Вспомните:
№712 учебника 2023-2025 (стр. 151):
Пусть \(a = 2k + 1\), тогда \(b = 2k + 3\),
\(c = 2k + 5\), \(d = 2k + 7\).
\(cd - ab = \)
\((2k+5)(2k+7) - (2k+1)(2k+3) =\)
\( = \bigl(4k^2 + 14k + 10k + 35\bigr) - \bigl(4k^2 + 6k + 2k + 3\bigr) =\)
\(=(4k^2 + 24k + 35) - (4k^2 + 8k + 3) =\)
\( = 4k^2 + 24k + 35 - 4k^2 - 8k - 3 =\)
\(=16k + 32 = 16(k + 2) \) - делится на 16.
Пояснения:
Использованные правила:
1. Общее представление нечётного числа: \(2k+1\).
2. Раскрытие произведения:
\((x+y)(u+v)=xu+xv+yu+yv\).
3. Вычитание многочленов: чтобы вычесть \((P(x) - Q(x))\), меняем знак у всех членов \(Q(x)\) и складываем с \(P(x)\).
4. Приведение подобных членов:
\(k_1X + k_2X = (k_1 + k_2)X.\)
5. Распределительное свойство умножения (вынос множителя за скобки):
\(x(y+z)=xy+xz\).
6. Критерий делимости: если число представимо в виде \(k\cdot m\), где \(m\) какой-либо многочлен, то оно кратно \(k\).
Пояснения к шагам:
- Введено общее представление для последовательных нечётных чисел через переменную \(k\).
- Раскрытие скобок и приведение подобных членов позволяют получить выражение в виде \(16k+32\).
- Вынос общего множителя 16 показывает, что разность кратна 16 по критерию делимости.
№712 учебника 2013-2022 (стр. 151):
а) \(mn - mk + xk - xn =\)
\(=(mn - mk) + (xk - xn)\)
\(= m(n - k) + x(k - n)=\)
\(= m(n - k) - x(n - k)=\)
\(= (n - k)(m - x)\).
б) \(x^2 + 7x - ax - 7a =\)
\(=(x^2 + 7x) - (ax + 7a)=\)
\( = x(x + 7) - a(x + 7)=\)
\(= (x + 7(x - a))\).
в) \(3m - mk + 3k - k^2 =\)
\(=(3m + 3k) - (mk + k^2)=\)
\( = 3(m + k) - k(m + k)=\)
\(= (m + k)(3 - k)\).
г) \(xk - xy - x^2 + yk =\)
\(=(xk - x^2) + (yk - xy)\)
\( = x(k - x) + y(k - x)=\)
\(= (k - x)(x + y)\).
Пояснения:
Использованные правила:
1. Группировка однотипных слагаемых.
2. Вынесение общего множителя за скобку:
\(A\cdot X + B\cdot X = (A+B)\,X\);
\(A\cdot X - B\cdot X = (A-B)\,X.\)
Обращаем внимание на то, что при вынесении отрицательного множителя за скобки, знаки слагаемых, оставшихся в скобках, меняем на противоположные.
3. Перестановка слагаемых не меняет результат:
\(A + B = B + A\).
Пояснения к пунктам:
В каждом случае сначала разделили многочлен на две группы по два слагаемых так, чтобы в каждой группе появился общий множитель; затем вынесли его за скобку и записали результат в виде произведения двух двучленов.
Вернуться к содержанию учебника