Упражнение 715 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 151

Решение:

а) \(n(n+5) - (n-3)(n+2) =\)

\(=n^2 + 5n - \bigl(n^2 + 2n - 3n - 6\bigr)=\)

\(=n^2 + 5n - \bigl(n^2 - n - 6\bigr)=\)

\(= n^2 + 5n - n^2 + n + 6=\)

\(= 6n + 6 = 6(n + 1)\) - кратно 6.

б) \((n-1)(n+1) - (n-7)(n-5) =\)

\(=\bigl(n^2 + n - n - 1\bigr) - \bigl(n^2 - 5n - 7n + 35\bigr)=\)

\(=\bigl(n^2 - 1\bigr) - \bigl(n^2 - 12n + 35\bigr)=\)

\(= n^2 - 1 - n^2 + 12n - 35=\)

\(= 12n - 36 = 12(n - 3)\) - кратно 12.

Пояснения:

Использованные правила:

1. Распределительное свойство умножения (вынос множителя за скобки):

\(x(y+z)=xy+xz\).

2. Раскрытие скобок для произведения:

\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).

3. Правило вычитания скобок:

\(A - (B+C)=A - B - C\).

4. Приведение подобных членов:

\(k_1X + k_2X = (k_1 + k_2)X.\)

5. Критерий делимости: если число представимо в виде \(k\cdot m\), то оно кратно \(k\).

Пояснения к пунктам:

а) При раскрытии скобок получаем разность \(n^2+5n\) и \(n^2 - n -6\). Сокращаем противоположные, приводим подобные, получаем \(6n+6\), используя распределительное свойство умножения, выносим множитель 6 за скобки: \(6\cdot(n+1)\). Согласно критерию делимости можем сделать вывод о том, что при любом натуральном значении \(n\) значение данного выражение кратно 6.

б) При раскрытии скобок получаем разность \(n^2-1\) и \(n^2-12n+35\). Сокращаем противоположные, приводим подобные, получаем \(12n - 36\), используя распределительное свойство умножения, выносим множитель 12 за скобки: \(12\cdot(n-3)\). Согласно критерию делимости можем сделать вывод о том, что при любом натуральном значении \(n\) значение данного выражение кратно 12.

а) \(a x - y + x - a y = (x - y)(a + 1)\)

\( a x - y + x - a y =\)

\(=(a x + x) - (y + a y) =\)

\(=x\,(a + 1) - y\,(1 + a) =\)

\(=x\,(a + 1) - y\,(a + 1) =\)

\(=(x - y)\,(a + 1). \)

Тождество доказано.

б) \(a x - 2b y + a y - 2b x = (a - 2b)(x + y)\)

\( a x - 2b y + a y - 2b x =\)

\(=(a x + a y) - (2b y + 2b x) =\)

\(=a\,(x + y) - 2b\,(y + x) =\)

\(=a\,(x + y) - 2b\,(x + y) =\)

\(=(a - 2b)\,(x + y). \)

Тождество доказано.

Пояснения:

Использованные правила:

1. Группировка однотипных слагаемых.

2. Вынесение общего множителя за скобку:

\(A\cdot X + B\cdot X = (A+B)\,X,\)

\(A\cdot X - B\cdot X = (A-B)\,X,\)

Обращаем внимание на то, что при вынесении отрицательного множителя за скобки, знаки слагаемых, оставшихся в скобках, меняем на противоположные.

3. Перестановка слагаемых не меняет результат:

\(A + B = B + A\).

Комментарий к пункту а):

В левой части равенства сгруппировали первое и третье слагаемые, второе и четвертое слагаемые:

\((a x + x)\) и \((y + a y)\).

Вынесли общие множители \(x\) и \(y\) соответственно, получили общий множитель \((a + 1)\), который вынесли за скобку, и получили правую часть равенства, а это говорит о том, что тождество доказано.

Комментарий к пункту б):

В левой части равенства сгруппировали первое и третье слагаемые, второе и четвертое слагаемые:

\((a x + a y)\) и \((2b y + 2b x)\).

Вынесли общие множители \(a\) и \(2b\) соответственно, получили общий множитель \((x + y)\), который вынесли за скобку, и получили правую часть равенства, а это говорит о том, что тождество доказано.