Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№710 учебника 2023-2025 (стр. 150):
Докажите, что выражение \((y-6)(y+8) - 2(y-25)\) при любом значении \(y\) принимает положительное значение.
№710 учебника 2013-2022 (стр. 151):
Разложите на множители многочлен:
а) \(ab - 8a - bx + 8x\);
б) \(ax - b + bx - a\);
в) \(ax - y + x - ay\);
г) \(ax - 2bx + ay - 2by\).
№710 учебника 2023-2025 (стр. 150):
Вспомните:
№710 учебника 2013-2022 (стр. 151):
Вспомните:
№710 учебника 2023-2025 (стр. 150):
\((y-6)(y+8) - 2(y-25) =\)
\(=y^2 +8y -6y -48 - 2y + 50 =\)
\(= y^2 + 2\).
\(y^2 \ge 0\) для любого \(y\), тогда
\(y^2 + 2 > 0.\)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1) Распределительное свойство умножения (раскрытие скобок):
\(x(y+z)=xy+xz\).
2) Правило раскрытия произведения двух скобок:
3) Приведение подобных членов:
\(k_1X + k_2X = (k_1 + k_2)X.\)
4) Вычитание многочленов: чтобы вычесть \((P(x) - Q(x))\), меняем знак у всех членов \(Q(x)\) и складываем с \(P(x)\).
5) Неотрицательность квадрата:
\(y^2 \ge 0\) для любого \(y\).
Раскроем каждое произведение буквально, перемножая по членам:
\((y-6)(y+8) =\)
\(=y\cdot y + y\cdot8 -6\cdot y -6\cdot8 =\)
\(=y^2 +8y -6y -48 =\)
\(=y^2 +2y -48\),
\(2(y-25) = 2\cdot y - 2\cdot25 =\)
\(=2y -50\).
Вычтем второе выражение из первого, распространяя знак «−» на каждый член:
\((y^2 +2y -48) - (2y -50) =\)
\(=y^2 +2y -48 -2y +50 =\)
\(=y^2 +2\).
Обоснование положительности:
После раскрытия и приведения подобных членов получили выражение \(y^2 + 2\). Так как \(y^2\) неотрицательно, сумма с \(2\) не может быть меньше \(2\), следовательно \(y^2 + 2 > 0\) при любом \(y\).
№710 учебника 2013-2022 (стр. 151):
а) \(ab - 8a - bx + 8x =\)
\(=(ab - 8a) - (bx - 8x) =\)
\(=a(b - 8) - x(b - 8) =\)
\(=(b - 8)(a - x)\).
б) \(ax - b + bx - a =\)
\(=(ax + bx) - (a + b) =\)
\(=x(a + b) - 1\cdot(a + b) =\)
\(=(a + b)(x - 1)\).
в) \(ax - y + x - ay =\)
\(=(ax - ay) + (x - y) =\)
\(=a(x - y) + (x - y) =\)
\(=(x - y)(a + 1)\).
г) \(ax - 2bx + ay - 2by =\)
\(=(ax + ay) - (2bx + 2by) =\)
\(=a(x + y) - 2b(x + y) =\)
\(=(x + y)(a - 2b)\).
Пояснения:
Использованные правила:
1. Группировка однотипных слагаемых.
2. Вынесение общего множителя за скобку:
\(A\,X + B\,X = (A + B)\,X\);
\(X - C\,X = (1 - C)\,X\).
Обращаем внимание на то, что при вынесении отрицательного множителя за скобки, знаки слагаемых, оставшихся в скобках, меняем на противоположные.
3. Перестановка слагаемых не меняет результат:
\(A + B = B + A\).
Пояснения к пунктам:
В каждом случае сначала сгруппировали слагаемые так, чтобы в каждой группе появился общий множитель (например, \(b-8\), \(a+b\), \(x-y\), \(x+y\)), а затем вынесли этот множитель за скобку, получив итоговое произведение.
Вернуться к содержанию учебника