Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№711 учебника 2023-2025 (стр. 150):
Докажите, что при всех целых \(n\) значение выражения:
а) \(n(n-1) - (n+3)(n+2)\) делится на 6;
б) \(n(n+2) - (n-7)(n-5)\) делится на 7.
№711 учебника 2013-2022 (стр. 151):
Разложите на множители многочлен:
а) \(x^3 + x^2 + x + 1\);
б) \(y^5 - y^3 - y^2 + 1\);
в) \(a^4 + 2a^3 - a - 2\);
г) \(b^6 - 3b^4 - 2b^2 + 6\);
д) \(a^2 - ab - 8a + 8b\);
е) \(ab - 3b + b^2 - 3a\);
ж) \(11x - xy + 11y - x^2\);
з) \(kn - mn - n^2 + mk\).
№711 учебника 2023-2025 (стр. 150):
Вспомните:
№711 учебника 2013-2022 (стр. 151):
Вспомните:
№711 учебника 2023-2025 (стр. 150):
а) \(n(n-1) - (n+3)(n+2) =\)
\(=n^2 - n - \bigl(n^2 + 3n + 2n + 6\bigr)=\)
\(=n^2 - n - \bigl(n^2 + 5n + 6\bigr)=\)
\(= n^2 - n - n^2 - 5n - 6 =\)
\(=-6n - 6 = -6(n + 1)\) - делится на 6.
б) \(n(n+2) - (n-7)(n-5) =\)
\(=n^2 + 2n - \bigl(n^2 - 5n - 7n + 35\bigr)=\)
\(=n^2 + 2n - \bigl(n^2 - 12n + 35\bigr)=\)
\(= n^2 + 2n - n^2 + 12n - 35 =\)
\(= 14n - 35 = 7(2n - 5)\) - делится на 7.
Пояснения:
Использованные правила:
1. Распределительное свойство умножения (вынос множителя за скобки):
\(x(y+z)=xy+xz\).
2. Раскрытие скобок для произведения:
\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).
3. Правило вычитания скобок:
\(A - (B+C)=A - B - C\).
4. Приведение подобных членов:
\(k_1X + k_2X = (k_1 + k_2)X.\)
5. Критерий делимости: если число представимо в виде \(k\cdot m\), где \(m\) какой-либо многочлен, то оно делится на \(k\).
Пояснения к шагам:
Для пункта а):
сначала раскрыли скобки
\(n(n-1)=n^2-n\) и
\((n+3)(n+2)=n^2+5n+6\),
затем вычли второе из первого, получили \(-6n-6\), используя распределительное свойство умножения, вынесли множитель -6 за скобки \(-6(n+1)\). По критерию делимости на 6, множитель \(-6\) гарантирует делимость.
Для пункта б):
раскрыли скобки
\(n(n+2)=n^2+2n\) и
\((n-7)(n-5)=n^2-12n+35\),
затем вычли второе из первого, получили \(14n-35\), используя распределительное свойство умножения, вынесли множитель 7 за скобки \(7(2n-5)\). По критерию делимости на 7 множитель 7 гарантирует делимость.
№711 учебника 2013-2022 (стр. 151):
а) \(x^3 + x^2 + x + 1 =\)
\(=(x^3 + x^2) + (x + 1) =\)
\(=x^2(x+1) + 1\cdot(x+1) =\)
\(=(x+1)(x^2 + 1)\).
б) \(y^5 - y^3 - y^2 + 1 =\)
\(=(y^5 - y^3) - (y^2 - 1) =\)
\(=y^3(y^2-1) - 1\cdot(y^2-1) =\)
\(=(y^2 - 1)(y^3 - 1)\).
в) \(a^4 + 2a^3 - a - 2 =\)
\(=(a^4 + 2a^3) - (a + 2) =\)
\(=a^3(a+2) - 1\cdot(a+2) =\)
\(=(a+2)(a^3 - 1)\).
г) \(b^6 - 3b^4 - 2b^2 + 6 =\)
\(=(b^6 - 3b^4) - (2b^2 - 6) =\)
\(=b^4(b^2 - 3) - 2(b^2 - 3) =\)
\(=(b^2 - 3)(b^4 - 2)\).
д) \(a^2 - ab - 8a + 8b =\)
\(=(a^2 - ab) - (8a - 8b) =\)
\(=a(a - b) - 8(a - b) =\)
\(=(a - b)(a - 8)\).
е) \(ab - 3b + b^2 - 3a =\)
\(=(ab - 3a) + (b^2 - 3b) =\)
\(=a(b - 3) + b(b - 3) =\)
\(=(b - 3)(a + b)\).
ж) \(11x - xy + 11y - x^2 =\)
\(=(11x + 11y) - ( x^2 + xy) =\)
\(=11(x + y) - x(x + y) =\)
\(=(x + y)(11 - x)\).
з) \(kn - mn - n^2 + mk =\)
\(=(kn - n^2) + (mk - mn) =\)
\(=n(k - n) + m(k - n) = \)
\(=(k - n)(n + m)\).
Пояснения:
Использованные правила:
1. Группировка однотипных слагаемых.
2. Вынесение общего множителя за скобку:
\(A\cdot X + B\cdot X = (A+B)\,X,\)
\(A\cdot X - B\cdot X = (A-B)\,X,\)
\(X - C\cdot X = (1-C)\,X\).
Обращаем внимание на то, что при вынесении отрицательного множителя за скобки, знаки слагаемых, оставшихся в скобках, меняем на противоположные.
3. Перестановка слагаемых не меняет результат:
\(A + B = B + A\).
4. Умножение степеней:
\(а^n + a^m=a^{m+n}\).
Пояснения к пунктам:
– В пунктах а)–д) сгруппировали первые два и последние два слагаемых, выделили общий множитель и записали сумму как произведение коэффициентов на этот множитель.
– В пункте е) предварительно переставили слагаемые, чтобы появились группы с общим множителем \((a+b)\).
– В пункте ж) предварительно переставили слагаемые, чтобы появились группы с общим множителем \((x+y)\).
– В пункте з) предварительно переставили слагаемые, чтобы появились группы с общим множителем \((k-n)\).
Вернуться к содержанию учебника