Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№718 учебника 2023-2025 (стр. 151):
Периметр прямоугольника равен 70 см. Если его длину уменьшить на 5 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь увеличится на 50 см². Найдите длину и ширину первоначального прямоугольника.
№718 учебника 2013-2022 (стр. 152):
Разложите на множители трёхчлен:
а) \(x^2 + 6x + 5\);
б) \(x^2 - x - 6\);
в) \(a^2 - 5a + 4\);
г) \(a^2 - 6a - 16\).
№718 учебника 2023-2025 (стр. 151):
Вспомните:
№718 учебника 2013-2022 (стр. 152):
Вспомните:
№718 учебника 2023-2025 (стр. 151):
Пусть длина прямоугольника \(x\) (см), тогда его ширина \(70 : 2 - x = 35 - x\) (см), а площадь \(x(35-x)\) (см2). Новая длина \(x - 5\) (см), а ширина \(35 - x + 5 = 40 - x\) см, тогда новая площадь \((x - 5)(40-x)\) (см2). Известно, что новая площадь на 50 см2 больше исходной площади.
Составим уравнение:
\((x - 5)(40-x) - x(35-x) = 50\)
\(40x - x^2 - 200 + 5x - 35x + x^2 = 50\)
\(10x - 200 = 50\)
\(10x = 50 + 200\)
\(10x = 250\)
\(x = \frac{250}{10}\)
\(x = 25\) (см) - длина исходного прямоугольника.
\(35 - 25 = 10 \)(см) - ширина исходного прямоугольника.
Ответ: 25 см и 10 см.
Пояснения:
Использованные правила:
1. Раскрытие произведения скобок:
\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).
2. Распределительное свойство умножения (раскрытие скобок):
\(x(y+z)=xy+xz\).
3. Вычитание многочленов: чтобы вычесть \((P(x) - Q(x))\), меняем знак у всех членов \(Q(x)\) и складываем с \(P(x)\).
4. Приведение подобных членов:
\(ax^2 + bx + cx^2 = (a+c)x^2 + bx\).
5. Перенос членов через знак «=»: если
\(A + C= B + D\), то
\(A - D = B - C\).
6. Решение линейного уравнения:
из \(ax = b\) следует \(x = \tfrac{b}{a}\) при \(a\neq0\).
По условию задачи составляем уравнение. Для этого сначала вводим обозначения.
Учитывая то, что периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его длины и ширины, чтобы найти ширину прямоугольника можно его периметр разделить на 2 и вычесть длину. Поэтому, обозначив длину прямоугольника за \(x\) (см), его ширина будет равна \(70 : 2 - x = 35 - x\) (см). Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины, тогда площадь исходного прямоугольника \(x(35-x)\) (см2). Если длину исходного прямоугольника уменьшить на 5 см, а ширину увеличить на 5 см, то новая длина будет равна \(x - 5\) (см), а ширина \(35 - x + 5 = 40 - x\) см, тогда новая площадь \((x - 5)(40-x)\) (см2). Известно, что новая площадь на 50 см2 больше исходной площади. Получается можем составить следующее уравнение:
\((x - 5)(40-x) - x(35-x) = 50\).
В полученном уравнении раскрываем скобки. Первую пару скобок раскрываем по правилу умножения двух скобок, а третью скобку раскрываем по распределительному свойству умножения, учитывая знак "минус", получим:
\(40x - x^2 - 200 + 5x - 35x + x^2 = 50\).
Затем в левой части уравнения сокращаем противоположные выражения и приводим подобные:
\(10x - 200 = 50\).
Теперь \(-200\) переносим из левой части уравнения в правую:
\(10x = 50 + 200\).
Получаем линейное уравнение:
\(10x = 250\), значит, \(x = \frac{250}{10}\), откуда \(x = 25\).
Учитывая введенные выше обозначения, длина исходного прямоугольника равна 25 см, а ширина: \(35 - 25 = 10\) (см)
№718 учебника 2013-2022 (стр. 152):
а) \( x^2 + 6x + 5 =\)=
\(=x^2 + 5x + х + 5 =\)
\(=(x^2 + 5x) + (х + 5) =\)
\(=x(x + 5) + 1\cdot(х + 5) =\)
\(=(x + 1)(x + 5)\).
б) \( x^2 - x - 6 =\)
\(= x^2 + 2x - 3x - 6 =\)
\(= (x^2 + 2x) - (3x + 6) =\)
\(= x(x + 2) - 3(x + 2) =\)
\(=(x - 3)(x + 2). \)
в) \( a^2 - 5a + 4 =\)
\(= a^2 - 4a - a + 4 =\)
\(= a(a - 4) - 1\cdot(a - 4) =\)
\(=(a - 1)(a - 4). \)
г) \( a^2 - 6a - 16 =\)
\(= a^2 - 8a + 2a - 16 =\)
\(=(a^2 - 8a) + (2a - 16) =\)
\(=a(a - 8) + 2\cdot(a - 8) =\)
\(=(a - 8)(a + 2). \)
Пояснения:
Использованные правила:
1. Приведение подобных членов:
\(k_1X + k_2X = (k_1 + k_2)X.\)
2. Группировка однотипных слагаемых.
2. Вынесение общего множителя за скобку:
\(A\cdot X + B\cdot X = (A+B)\,X,\)
\(A\cdot X - B\cdot X = (A-B)\,X.\)
Обращаем внимание на то, что при вынесении отрицательного множителя за скобки, знаки слагаемых, оставшихся в скобках, меняем на противоположные.
3. Перестановка слагаемых не меняет результат:
\(A + B = B + A\).
При разложении многочлена на множители используем метод «через подобные», который заключается в разложении среднего члена \(Bx\) (или \(Ba\)) на сумму двух подобных членов. Затем выполняется группировка по парам и вынесение общего множителя.
Пояснение к пункту а):
Числа, дающие в сумме 6: это 5 и 1. Значит, \(6x = 5x + x\), тогда получим следующее разложение:
\((x+1)(x+5)\).
Пояснение к пункту б):
Числа, дающие в сумме \(-1\): это 2 и \(-3\), значит, \(-x = 2x - 3x\), тогда получим следующее разложение:
\((x-3)(x+2)\).
Пояснение к пункту в):
Числа, дающие в сумме \(-5\): это -4 и -1. Значит, \(-5a = -4a - a\), тогда получим следующее разложение:
\((a-1)(a-4)\).
Пояснение к пункту г):
Числа, дающие в сумме \(-6\): это \(-8\) и 2. Значит, \(-6a = -8a + 2a\), тогда получим следующее разложение:
\((a-8)(a+2)\).
Вернуться к содержанию учебника