Упражнение 801 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) Пусть четыре последовательных целых числа:

\(x,\;x+1,\;x+2,\;x+3\).

\( (x+1)(x+2)\;-\;x(x+3) =\)

\(=\cancel{x^2} + \cancel{3x}+2 - \cancel{x^2} - \cancel{3x}=2. \)

б) Пусть три последовательных нечётных числа:

\( 2x+1,\;2x+3,\;2x+5\).

\( (2x+3)^2-(2x+1)(2x+5)= \)

\( (2x+3)(2x+3) - (2x+1)(2x+5)= \)

\(=(4x^2+6x+6x+9) -(4x^2+10x+2x+5) =\)

\(=(4x^2+12x+9) -(4x^2+12x+5) =\)

\(=\cancel{4x^2}+\cancel{12x}+9 - \cancel{4x^2}-\cancel{12x}-5 =\)

\(=9 - 5 = 4.\)

Пояснения:

1. Метод «через разность» состоит в сравнении выражений путём вычитания: выясняем, на какое число одно выражение больше другого.

2. Раскрываем скобки по правилам:

• умножения многочлена на многочлен:

\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\);

• умножения одночлена на многочлен:

\(a(b+c)=ab+ac\).

3. В пункте (а) после раскрытия скобок сокращаются члены \(x^2\) и \(3x\), остаётся 2.

4. В пункте (б) сначала представляем квадрат среднего числа в виде произведения двух одинаковых скобок по определению степени, после раскрытия скобок сокращаются члены \(x^2\) и \(4x\), остаётся 4.

5. Полученные равенства доказывают:

а) произведение средних чисел больше произведения крайних на 2;

б) квадрат среднего нечётного на 4 больше произведения двух крайних чисел.

1) Сторона серого квадрата равна

\(a - b\), его площадь равна\((a - b)^2.\)

2) Площадь квадрата со стороной \(a\) равна \(a^2.\)

Площадь прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\) равна \(a\cdot{b}\), тогда площадь двух таких прямоугольников равна \(2ab\)

Площадь квадрата со стороной \(b\) равна \(b^2.\) Тогда площадь серого квадрата:

\(a^2 - 2ab + b^2.\)

3) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)

Пояснения:

– Рисунок 86 иллюстрирует разбиение большого квадрата на четыре фигуры: квадрат со стороной \(a - b\), два равных прямоугольника \(a\times b\) и малый квадрат со стороной \(b\).

– Площадь большого квадрата — сумма площадей всех этих частей. Вычитая из \(a^2\) площади двух прямоугольников \(2ab\) и малого квадрата \(b^2\), получаем площадь оставшегося квадрата \((a - b)^2\).

– Это наглядно демонстрирует формулу квадрата разности через площади фигур.