Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№804 учебника 2023-2025 (стр. 163):
Периметр прямоугольника равен 36 м. Если его длину увеличить на 1 м, а ширину увеличить на 2 м, то его площадь увеличится на 30 м². Определите площадь первоначального прямоугольника.
№804 учебника 2013-2022 (стр. 167):
Преобразуйте в многочлен:
а) \((7 - 8b)^2\);
б) \((0{,}6 + 2x)^2\);
в) \(\bigl(\tfrac{1}{3}x - 3y\bigr)^2\);
г) \(\bigl(4a + \tfrac{1}{8}b\bigr)^2\);
д) \((0{,}1m + 5n)^2\);
е) \((12a - 0{,}3c)^2\).
№804 учебника 2023-2025 (стр. 163):
Вспомните:
№804 учебника 2013-2022 (стр. 167):
Вспомните:
№804 учебника 2023-2025 (стр. 163):
Пусть длина исходного прямоугольника \(x\) см, тогда его ширина:
\(36 : 2 - х = 18 - x\) см.
Новая длина \(x + 1\) см, новая ширина \(18 - x + 2 = 20 - x\) см.
Известно, что новая площадь на 30 м² больше исходной.
1) Составим уравнение:
\( (x+1)(20 - x) = x(18-x) + 30 \)
\( 20x - x^2 + 20 - x=18x - x^2 + 30\)
\(19x + 20 = 18x + 30\)
\(19x - 18x= 30 - 20\)
\(x = 10 \text{ (м)}\) - длина исходного прямоугольника.
2) \(18 - 10 = 8 \text{ (м)}\) - ширина исходного прямоугольника.
3) \( S = 10 \cdot 8 = 80\text{ (м}^2) \) - площадь исходного прямоугольника.
Ответ: \(80\text{ м}^2.\)
Пояснения:
1. Чтобы найти одну из сторон прямоугольника, нужно периметр разделить на 2 и вычесть вторую сторону. Следовательно, обозначив длину прямоугольника через \(x\) см, его ширина будет равна:
\(36 : 2 - х = 18 - x\) см.
Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины, тогда площадь исходного прямоугольника: \( x(18-x)\).
2. После увеличения длины на 1 м и ширины на 2 м, новые длина и ширина прямоугольника стали соответственно равны
\(x + 1\) см и \(18 - x + 2 = 20 - x\) см.
Тогда площадь нового прямоугольника:
\((x+1)(20 - x)\).
3. Условие о том, что площадь
\((x+1)((18-x)+2)\) на 30 м² больше исходной \(x(18-x)\) выражает уравнение:
\( (x+1)(20 - x) = x(18-x) + 30 \).
3. Раскрыли скобки в левой части уравнения, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена, и раскрыли скобки в правой части уравнения, умножив \(x\) на каждый компонент в скобках.
4. Перенесли слагаемые с переменной в левую часть уравнения, изменив их знак, привели подобные члены и сократили противоположные члены.
5. Упростив уравнение, нашли длину исходного прямоугольника \(x = 10\) м.
6. Нашли ширину исходного прямоугольника \(18 - 10 = 8 \text{ (м)}\).
7. Перемножив длину и ширину, нашли площадь исходного прямоугольника:
\( S = 10 \cdot 8 = 80\text{ (м}^2). \)
№804 учебника 2013-2022 (стр. 167):
а) \((7 - 8b)^2 =\)
\(=7^2 - 2\cdot7\cdot8b + (8b)^2 =\)
\(=49 - 112b + 64b^2.\)
б) \((0{,}6 + 2x)^2 =\)
\(=(0{,}6)^2 + 2\cdot0{,}6\cdot2x + (2x)^2 =\)
\(=0{,}36 + 2{,}4x + 4x^2.\)
в) \(\bigl(\tfrac{1}{3}x - 3y\bigr)^2 =\)
\(=\bigl(\tfrac{1}{3}x\bigr)^2 - 2\cdot\tfrac{1}{3}x\cdot3y + (3y)^2 =\)
\(=\tfrac{1}{9}x^2 - 2xy + 9y^2.\)
г) \(\bigl(4a + \tfrac{1}{8}b\bigr)^2 =\)
\(=(4a)^2 + 2\cdot4a\cdot\tfrac{1}{8}b + \bigl(\tfrac{1}{8}b\bigr)^2 =\)
\(=16a^2 + ab + \tfrac{1}{64}b^2.\)
д) \((0{,}1m + 5n)^2 = \)
\(=(0{,}1m)^2 + 2\cdot0{,}1m\cdot5n + (5n)^2 =\)
\(=0{,}01m^2 + mn + 25n^2.\)
е) \((12a - 0{,}3c)^2 =\)
\(=(12a)^2 - 2\cdot12a\cdot0{,}3c + (0{,}3c)^2 =\)
\(=144a^2 - 7{,}2ac + 0{,}09c^2.\)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,
2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.
3) Затем выполняем возведение в степень, используя свойство возведения произведения в степень:
\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)
Вернуться к содержанию учебника