Упражнение 796 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 162

а) \((3^5 - 3^4)(3^3 + 3^2) =\)

\(=3^4\cdot(3 - 1)\cdot3^2\cdot( + 1) =\)

\(=3^4\cdot2 \;\cdot\;3^2\cdot4 = 2^3\cdot3^6=\)

\(=8\cdot3\cdot3^5 = 24\cdot3^5\) - делится на 24.

б) \((2^{10} + 2^8)(2^5 - 2^3) =\)

\(=2^8\cdot(2^2 + 1)\cdot2^3\cdot(2^2 - 1) =\)

\(=2^8\cdot(4 + 1)\cdot2^3\cdot(24 - 1) =\)

\(=2^8\cdot5 \;\cdot\;2^3\cdot3 =\)

\(=2^{11}\cdot3\cdot5 = 2^9\cdot2^2\cdot15=\)

\(=2^9\cdot4\cdot15=2^9\cdot60\) - делится на 60.

в) \((16^3 - 8^3)(4^3 + 2^3) =\)

\(=((2^4)^3 - (2^3)^3)((2^2)^3 + 2^3) =\)

\(=(2^{12} - 2^9)(2^6 + 2^3) =\)

\(=2^9\cdot(2^3 - 1)\cdot2^3\cdot(2^3 + 1) =\)

\(=2^9\cdot(8 - 1)\cdot2^3\cdot(8+ 1) =\)

\(=2^9\cdot7 \;\cdot\;2^3\cdot9 =\)

\(=2^{12}\cdot63\) - делится на 63.

г) \((125^2 + 25^2)(5^2 - 1) =\)

\(=((5^3)^2 + (5^2)^2)(25 - 1) =\)

\(=(5^6 + 5^4)(25 - 1) =\)

\(=5^4\cdot(5^2 + 1)\cdot24 =\)

\(=5^4\cdot(25 + 1)\cdot24 =\)

\(=5^4\cdot26 \cdot\;24 = 5^4\cdot2\cdot13\cdot3\cdot8=\)

\(=5^4\cdot2\cdot39\cdot2^3=\)

\(5^4\cdot2^4\cdot39\) - делится 39.

Пояснения:

Использованные формулы и теоремы:

Основной приём — вынос общей степени основания в каждом разности или сумме степеней.

\[(a^n - a^m) = a^m\,(a^{n-m} - 1)\]

\[(a^n + a^m) = a^m\,(a^{n-m} + 1)\]

Теорема о делимости: если натуральное число представимо как \(d\cdot k\), то оно делится на \(d\).

Также в пунктах в) и г) использовали свойство возведения степени в степень:

\((a^m)^n = a^{m\cdot{n}}\).

а) После выноса степеней получили произведение \(24 \cdot 3^5\), значит, выражение делится на 24.

б) Выделив \(2^8\) и \(2^3\), получили \(60 \cdot 2^9\), значит, выражение делится на 60.

в) Преобразования через степени двойки дали множители \(7\) и \(9\) при общей степени \(2^{12}\), то есть \(63 \cdot 2^{12}\), значит, выражение делится на 63.

г) Преобразования через степени пятерки дали множители \(3\) и \(13\) при общих степенях \(5^{4}\) и \(2^{4}\), то есть

\(5^4\cdot2^4\cdot39\), значит, выражение делится на 39.

\( (x^3 + 4x^2 - 17x + 41)(x + a) =\)

\(=x^4 + ax^3+ 4x^3 + 4ax^2 -17x^2 -17ax + 41x + 41a= \)

\( = x^4 + (a + 4)x^3 + (4a - 17)x^2 + (41 - 17a)x + 41a. \)

\( a + 4 = 0 \)

\(a = -4. \)

Ответ: при \(a = -4. \)

Пояснения:

1. Тождественное равенство многочленов означает совпадение всех соответствующих коэффициентов при одинаковых степенях \(x\).

2. Раскрытие скобок выполняется по распределительному свойству умножения: \((a+b)c = ac + bc\).

3. Сборка подобных членов заключается в суммировании коэффициентов при одинаковой степени переменной.

В данном случае для устранения \(x^3\) необходимо, чтобы сумма коэффициентов \(a\) (из \(ax^3\)) и \(4\) (из \(4x^3\)) обратилась в ноль, что и даёт \(a = -4\).