Упражнение 792 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( 2^n\), \(2^{n+1}\), \(2^{n+2}\) - три последовательных степени числа 2 с натуральными показателями.

\( 2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2} =\)

\(=2^n\,(1 + 2 + 2^2) = 2^n \cdot 7 =\)

\(=2\cdot7\cdot2^{\,n-1} = 14\cdot 2^{\,n-1} \) - делится на 14.

б) \( 5^n\), \( 5^{n+1} \) - две последовательные степени числа 5 с натуральными показателями.

\( 5^n + 5^{n+1} = 5^n\,(1 + 5) =\)

\(=5^n \cdot 6 = 6\cdot5\cdot5^{\,n-1} = \)

\(=30\cdot5^{\,n-1} \) - делится на 30.

Пояснения:

1. Разложение на множители: для любого числа \(a\) и натурального \(n\) верно \[ a^n + a^{n+1} = a^n(1 + a), \quad a^n + a^{n+1} + a^{n+2} = a^n(1 + a + a^2). \]

2. Свойство натуральных показателей: при \(n\ge1\) множитель \(a^n\) содержит по крайней мере один множитель \(a\), а в случае \(2^n\) — одну двойку.

3. Правило делимости произведения: если один из множителей произведения равен указанному числу, а остальные целые, то всё произведение делится на это число.

В пункте а) после разложения получаем \(14\cdot2^{n-1}\), что даёт делимость на 14.

В пункте б) получаем \(30\cdot5^{n-1}\), что даёт делимость на 30.

а) \(ma - mb + na - nb + pa - pb=\)

\(=(ma - mb) + (na - nb) + (pa - pb) =\)

\(=m(a - b) + n(a - b) + p(a - b) =\)

\(=(m+n+p)(a - b).\)

б) \(ax - bx - cx + ay - by - cy=\)

\(=(ax - bx - cx) + (ay - by - cy) =\)

\(=(a - b - c)x + (a - b - c)y =\)

\(=(a - b - c)(x + y).\)

в) \(x^2 + ax^2 - y - ay + cx^2 - cy=\)

\(=(x^2 + ax^2 + cx^2) - (y + ay + cy) =\)

\(=(1 + a + c)x^2 - (1 + a + c)y =\)

\(=(1 + a + c)(x^2 - y).\)

г) \(ax^2 + 2y - bx^2 + ay + 2x^2 - by=\)

\(=(ax^2 - bx^2 + 2x^2) + (ay + 2y - by) =\)

\(=(a - b + 2)x^2 + (a - b + 2)y =\)

\(=(a - b + 2)(x^2 + y).\)

Пояснения:

При упрощении каждого выражения применяли группировку членов и выносили общий множитель, при этом учитывали то, что при вынесении за скобки отрицательного множителя, знаки оставшихся слагаемых в скобках нужно поменять на противоположные. Затем в каждом выражении получались одинаковые скобки, которые также выносили за скобки, как одинаковый множитель, а во вторые скобки записывали оставшиеся слагаемые.

а) Сначала разбили на три группы \((ma - mb)\), \((na - nb)\), \((pa - pb)\), вынесли из каждой группу по \(a - b\), затем сложили коэффициенты

\(m+n+p\).

б) Объединили первые три слагаемых в группу с множителем \(x\), последние три — с множителем \(y\), получили общий множитель \(a - b - c\), затем вынесли его.

в) Сложили три члена с \(x^2\) в одну группу и три члена с \(y\) в другую, вынесли общий множитель \(1+a+c\), затем представили разность \(x^2 - y\) в скобке.

г) В первую группу вошли все члены с \(x^2\), во вторую — с \(y\), вынесли общий множитель \(a - b + 2\), в скобке оставили сумму \(x^2 + y\).