Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№794 учебника 2023-2025 (стр. 162):
Упростите:
а) \((a^2 - 7)(a + 2) - (2a - 1)(a - 14)\);
б) \((2 - b)(1 + 2b) + (1 + b)(b^3 - 3b)\);
в) \(2x^2 - (x - 2y)(2x + y)\);
г) \((m - 3n)(m + 2n) - m(m - n)\);
д) \((a - 2b)(b + 4a) - 7b(a + b)\);
е) \((p - q)(p + 3q) - (p^2 + 3q^2)\).
№794 учебника 2013-2022 (стр. 162):
Докажите, что:
а) \(a(x + 6) + x(x - 3a) = 9\) при \(x = 2a - 3\);
б) \(x(x - 3a) + a(a + x) + 4 = 13\) при \(x = a + 3\).
№794 учебника 2023-2025 (стр. 162):
Вспомните:
№794 учебника 2013-2022 (стр. 162):
№794 учебника 2023-2025 (стр. 162):
а) \( (a^2-7)(a+2) - (2a-1)(a-14) =\)
\(=a^3 + 2a^2 -7a -14 - (2a^2 -29a +14) =\)
\(=a^3 + \cancel{2a^2} -7a - \cancel{14} - \cancel{2a^2} + 29a - \cancel{14} =\)
\(=a^3 +22a -28. \)
б) \( (2-b)(1+2b) + (1+b)(b^3-3b) =\)
\(=2 +4b -b -2b^2 + (b^3 -3b + b^4 -3b^2) =\)
\(=2 + \cancel{3b} - 2b^2 + b^3 - \cancel{3b} + b^4 -3b^2 =\)
\(=b^4 + b^3 - 5b^2 +2. \)
в) \( 2x^2 - (x-2y)(2x+y) =\)
\(=2x^2 - (2x^2 + xy - 4xy - 2y^2) =\)
\(=\cancel{2x^2} - \cancel{2x^2} - xy + 4xy + 2y^2 =\)
\(= 2y^2 + 3xy. \)
г) \( (m-3n)(m+2n) - m(m-n) =\)
\(=m^2 +2mn -3mn -6n^2 - (m^2 - mn) =\)
\(=\cancel{m^2} - \cancel{mn} - 6n^2 - \cancel{m^2} + \cancel{mn} =\)
\(=-6n^2. \)
д) \( (a-2b)(b+4a) - 7b(a+b) =\)
\(=ab +4a^2 -2b^2 -8ab - (7ab +7b^2) =\)
\(=ab +4a^2 -2b^2 -8ab -7ab -7b^2 =\)
\(=4a^2 - 9b^2 -14ab. \)
е) \( (p-q)(p+3q) - (p^2+3q^2) =\)
\(=p^2 +3pq -pq -3q^2 - p^2 -3q^2 =\)
\(=\cancel{p^2} +2pq -3q^2 - \cancel{p^2} -3q^2 =\)
\(=2pq -6q^2. \)
Пояснения:
1. Раскрытие скобок: при умножении многочлена на многочлен каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена.
2. Умножение степеней:
\(а^n + a^m=a^{m+n}\).
3. Смена знаков при вычитании: при вычитании многочленов, у вычитаемого многочлена при раскрытии скобок нужно поменять все знаки на противоположные.
4. Приведение подобных членов: после раскрытия скобок складываем или вычитаем члены с одинаковыми переменными и степенями, противоположные члены вычеркиваем, так как их сумма равна нулю..
В каждом пункте сначала выполняется умножение в скобках, затем при необходимости вычитание или сложение результирующих многочленов, после чего приводятся подобные члены для получения окончательного упрощённого выражения.
№794 учебника 2013-2022 (стр. 162):
а) \(a(x + 6) + x(x - 3a) = 9\)
При \(x = 2a - 3\):
\(a\bigl((2a - 3 + 6) + 6\bigr) + (2a - 3)\bigl(2a - 3 - 3a\bigr) =\)
\(=a(2a + 3) + (2a - 3)(-a - 3)= \)
\( = \cancel{2a^2} + \cancel{3a} - \cancel{2a^2} - \cancel{6a} + \cancel{3a} + 9 = 9.\)
Что и требовалось доказать.
б) \(x(x - 3a) + a(a + x) + 4 = 13\)
При \(x = a + 3\):
\( (a + 3)\bigl(a + 3 - 3a\bigr) + a\bigl(a + a + 3\bigr) + 4 =\)
\(=(a + 3)(-2a + 3) + a(2a + 3) + 4 =\)
\(=-2a^2 + 3a - 6a + 9 + 2a^2 + 3a + 4 =\)
\( = -\cancel{2a^2} - \cancel{3a} + 9 + \cancel{2a^2} + \cancel{3a} + 4 =\)
\(=9 + 4 = 13. \)
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Правило подстановки: Для доказательства тождества нужно подставить в выражение заданное значение переменной и упростить, выполняя операции сложения и умножения.
В пункте а) сначала подставили
\(x=2a-3\) в оба слагаемых, затем раскрыли скобки по формуле
\((u+v)w=uw+vw\), после чего сгруппировали подобные члены.
В пункте б) применили ту же процедуру: подстановка \(x=a+3\), раскрытие скобок по формуле
\((u+v)w=uw+vw\), после чего сгруппировали подобные члены.
В обоих случаях после упрощения получилось заданное числовое значение, что и требовалось доказать.
Вернуться к содержанию учебника