Упражнение 791 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 161

\(\overline{abc}=100a + 10b + c\)

\(\overline{cba}=100c + 10b + a\).

\(\overline{abc} - \overline{cba} =\)

\(=(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) =\)

\(=100a + \cancel{10b} + c - 100c - \cancel{10b} - a =\)

\(=(100a - a) + (100c - c) =\)

\(=99a - 99c = 99\,(a - c) =\)

\(=11 \cdot 9\,(a - c) \) - делится на \(11\).

Пояснения:

1. Представление трёхзначного числа: число \(\overline{abc}\) с цифрами \(a\), \(b\), \(c\) равно \(100a + 10b + c\).

2. Разность выражений: при вычитании сократились противоположные слагаемые \(10b\), что дало

\(100a - 100c + c - a=\)

\(=(100a - a) + (100c - c) =\)

\(=99a - 99c\)

3. Вынесение общего множителя:

\(99a - 99c = 99(a-c)\).

4. Делимость числа 99 на 11:

\(99 = 9 \cdot 11\), поэтому

\(99(a - c)=11 \cdot 9\,(a - c)\) кратно 11.

Итак, разность любых чисел \(\overline{abc}\) и \(\overline{cba}\) делится на \(11\).

а) \(a^3 - 2a^2 + 2a - 4 =\)

\(=(a^3 - 2a^2) + (2a - 4) =\)

\(=a^2(a - 2) + 2(a - 2) =\)

\(=(a^2 + 2)(a - 2).\)

б) \(x^3 + 6x^2 - 2x - 12 =\)

\(=(x^3 + 6x^2) - (2x + 12) =\)

\(x^2(x + 6) - 2(x + 6) =\)

\(=(x^2 - 2)(x + 6).\)

в) \(c^4 + c^3 - 2c^2 - 2c =\)

\(=(c^4 + c^3) - (2c^2 + 2c) =\)

\(=c^3(c + 1) - 2c(c + 1) =\)

\((c^3 - 2c)(c + 1) =\)

\(=c(c^2 - 2)(c + 1).\)

г) \(-y^6 - y^5 + y^4 + y^3 =\)

\(=-(y^6 + y^5) + (y^4 + y^3) =\)

\(=-y^5(y + 1) + y^3(y + 1) =\)

\(=( -y^5 + y^3)(y + 1) =\)

\(=-y^3(y^2 - 1)(y + 1) =\)

\(=-y^3(y - 1)(y + 1)^2.\)

д) \(a^2b + a^2c - b^2c - bc^2 =\)

\(=(a^2b + a^2c) - (b^2c + bc^2) =\)

\(=a^2(b + c) - bc(b + c) =\)

\(=(a^2 - bc)(b + c).\)

е) \(2x^3 - 2x^2y + xy^2 - y^3 =\)

\(=(2x^3 - 2x^2y) + (xy^2 - y^3) =\)

\(=2x^2(x - y) + y^2(x - y) =\)

\(=(2x^2 + y^2)(x - y).\)

ж) \(16ab^2 - 5b^2c + 32ac^2 - 10c^3 =\)

\(=(16ab^2 - 5b^2c) + (32ac^2 - 10c^3) =\)

\(=b^2(16a - 5c) + 2c^2(16a - 5c) =\)

\(=(b^2 + 2c^2)(16a - 5c).\)

з) \(6a^3 - 21a^2b + 2ab^2 - 7b^3 =\)

\(=(6a^3 - 21a^2b) + (2ab^2 - 7b^3) =\)

\(=3a^2(2a - 7b) + b^2(2a - 7b) =\)

\(=(3a^2 + b^2)(2a - 7b).\)

Пояснения:

При упрощении каждого выражения применяли группировку по двум членам и выносили общий множитель, при этом учитывали то, что при вынесении за скобки отрицательного множителя, знаки оставшихся слагаемых в скобках нужно поменять на противоположные. Затем в каждом выражении получались одинаковые скобки, которые также выносили за скобки, как одинаковый множитель, а во вторые скобки записывали оставшиеся слагаемые.

Так при разложении учитывали свойство степени:

\(a^m\cdot{a^n}=a^{m+n}\),

из которого следует то, что за скобки можно вынести букву в меньшей степени.

а) Сначала группа \(a^3 - 2a^2\) и группа \(2a - 4\). Во второй вынесен общий множитель 2, в первой – \(a^2\). Затем общий множитель \((a - 2)\).

б) Аналогично: группы \(x^3 + 6x^2\) и \(2x + 12\), затем общий множитель \((x + 6)\).

в) Группы \(c^4 + c^3\) и \(-2c^2 - 2c\), общий множитель \((c + 1)\), затем из \((c^3 - 2c)\) вынесен \(c\).

г) Группы с отрицательным знаком: \(-(y^6 + y^5)\) и \((y^4 + y^3)\), общий множитель \((y + 1)\), после чего из \((-y^5 + y^3)\) вынесен \(-y^3\) и учтено \((y^2 - 1) = (y - 1)(y + 1)\).

д) Группы \((a^2b + a^2c)\) и \((b^2c + bc^2)\), общий множитель \((b + c)\), внутри первая группа дала \(a^2\), вторая – \(bc\).

е) Группы \((2x^3 - 2x^2y)\) и \((xy^2 - y^3)\), общий множитель \((x - y)\), а внутри – \(2x^2\) и \(y^2\).

ж) Группы \((16ab^2 - 5b^2c)\) и \((32ac^2 - 10c^3)\), общий множитель \((16a - 5c)\), внутри – \(b^2\) и \(2c^2\).

з) Группы \((6a^3 - 21a^2b)\) и \((2ab^2 - 7b^3)\), общий множитель \((2a - 7b)\), внутри – \(3a^2\) и \(b^2\).