Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№795 учебника 2023-2025 (стр. 162):
Докажите, что выражение
\((y+8)(y-7) - 4(0{,}25y - 16)\)
при любом значении \(y\) принимает положительные значения.
№795 учебника 2013-2022 (стр. 162):
Докажите тождество:
а) \((y^4 + y^3)(y^2 - y) =\)
\(=y^4(y + 1)(y - 1);\)
б) \((a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) =\)
\(=a(a + 1)(a + 2)(a + 3);\)
в) \((a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) =\)
\(a^4 + a^2b^2 + b^4;\)
г) \((c^4 - c^2 + 1)(c^4 + c^2 + 1) =\)
\(=c^8 + c^4 + 1.\)
№795 учебника 2023-2025 (стр. 162):
Вспомните:
№795 учебника 2013-2022 (стр. 162):
Вспомните:
№795 учебника 2023-2025 (стр. 162):
\( (y+8)(y-7) - 4(0{,}25y - 16) =\)
\(=y^2 +8y -7y -56 - y + 64) =\)
\(=y^2 + (8y -7y -y) + (64 - 56) = \)
\(=y^2 + 8 > 0 \) при любом \(y\), так как для любого \(y\) верно \(\;y^2 \ge 0\).
Пояснения:
1. Раскрытие скобок:
\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).
\(а(b + c) = ab + ac\).
2. Приведение подобных членов: складываем и вычитаем члены с одинаковыми степенями и переменными.
3. Свойство квадрата: для любого вещественного числа \(y\) выполняется \(y^2 \ge 0\).
4. Сумма неотрицательного и положительного:
если \(A\ge0\) и \(B>0\), то \(A+B>0\).
В результате упрощения получаем выражение вида \(y^2+8\), которое по п. 3 и 4 всегда положительно.
№795 учебника 2013-2022 (стр. 162):
а) \((y^4 + y^3)(y^2 - y) =\)
\(=y^4(y + 1)(y - 1).\)
\(y^3(y + 1)\;\cdot\;y(y - 1) = \)
\(=y^4(y + 1)(y - 1)=\)
\(=y^4(y + 1)(y - 1).\)
б) \((a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) = \)
\(=a(a + 1)(a + 2)(a + 3)\)
\(a(a + 3)(a^2 + a + 2a + 2)= \)
\(=a(a + 3)(a(a + 1) + 2(a + 1))= \)
\(=a(a + 3)(a + 1)(a + 2)= \)
\(=a(a + 1)(a + 2)(a + 3)\).
в) \((a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) =\)
\(=a^4 + a^2b^2 + b^4\)
\( (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) =\)
\( = a^4 - \cancel{a^3b} + \cancel{a^2b^2} + \cancel{a^3b} - \cancel{a^2b^2} + \cancel{ab^3} + a^2b^2 - \cancel{ab^3} + b^4 =\)
\(=a^4 + a^2b^2 + b^4. \)
г) \((c^4 - c^2 + 1)(c^4 + c^2 + 1) = \)
\(=c^8 + c^4 + 1\)
\( (c^4 - c^2 + 1)(c^4 + c^2 + 1) =\)
\( = c^8 + \cancel{c^6} +\cancel{c^4} - \cancel{c^6} - \cancel{c^4} - \cancel{c^2} + c^4 + \cancel{c^2} + 1 =\)
\(=c^8 + c^4 + 1. \)
Пояснения:
В пункте а) в левой части равенства выделили \(y^3\) из первого множителя и \(y\) из второго, затем перемножили, получили правую часть равенства, тем самым доказали тождество.
В пункте б) в левой части равенства разложили \(a^2+3a\) на \(a(a+3)\) и \(a^2+3a+2\) на \((a+1)(a+2)\), получили правую часть равенства, тем самым доказали тождество..
В пунктах в) и г) в левых частях равенств сначала выполнили умножение многочлена на многочлена, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена. Учитывая свойство степени:
\(a^m\cdot{a^n}=a^{m+n}\),
в) После раскрытия появились положительные и отрицательные слагаемые одинаковой степени, которые взаимно уничтожаются, остаётся только \(a^4\), \(a^2b^2\) и \(b^4\).
г) То же самое: при суммировании слагаемых \(c^6\) и \(c^2\) они сокращаются, и остаются только \(c^8\), \(c^4\) и константа \(1\).
Вернуться к содержанию учебника