Упражнение 841 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\((a^2 + b^2)\,(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2\)

\(a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2=a^2c^2 + \cancel{2acbd} + b^2d^2 + a^2d^2 - \cancel{2acbd} + b^2c^2 \)

\(a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2= a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2 \)

Тождество доказано.

Пояснения:

Для доказательства тождества преобразуем каждую из частей данного равенства, получая одно и то же выражение.

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3. Умножение многочлена на многочлен:

\( (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd \).

В решении мы последовательно раскрыли скобки и сократили противоположные слагаемые.

а) \(x^2 + 10 > 0\) при любом значении \(x\), так как \(x^2 \geqslant 0\) при любом значении \(x\) и \(10 > 0\).

б) \(x^2 + 20x + 100 > 0\) не при любом значении \(x\), так как

\(x^2 + 20x + 100 = (x + 10)^2.\)

Квадрат любого числа неотрицателен, и при \(x = -10\) равен нулю:

\((-10 + 10)^2 = 0.\)

Пояснения:

Квадрат выражения всегда неотрицателен:

\( a^2 \ge 0. \)

Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) 

Пояснение к пункту а):

Сумма неотрицательного числа \(x^2\geqslant 0\) и положительного числа \(10 > 0\) всегда больше нуля, поэтому неравенство \(x^2 + 10 > 0\) верно при любом значении \(x\).

Пояснение к пункту б):

Преобразовали в полный квадрат: \(x^2+20x+100=(x+10)^2\). А при \(x=-10\), квадрат полученного двучлена равен нулю, поэтому неравенство \(x^2 + 20x + 100 > 0\) верно не при любом значении \(x\).