Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№836 учебника 2023-2025 (стр. 170):
Найдите корень уравнения:
а) \((x - 5)^2 - x^2 = 3\);
б) \((2y + 1)^2 - 4y^2 = 5\);
в) \(9x^2 - 1 - (3x - 2)^2 = 0\);
г) \(x + (5x + 2)^2 = 25\,(1 + x^2)\).
№836 учебника 2013-2022 (стр. 170):
Поставьте вместо знака * такой одночлен, чтобы трёхчлен можно было представить в виде квадрата двучлена:
а) \(* + 56a + 49\);
б) \(36 - 12x + *\);
в) \(25a^2 + * + \tfrac14 b^2\);
г) \(0,01b^2 + * + 100c^2\).
№836 учебника 2023-2025 (стр. 170):
Вспомните:
№836 учебника 2013-2022 (стр. 170):
Вспомните:
№836 учебника 2023-2025 (стр. 170):
а) \((x - 5)^2 - x^2 = 3\)
\(\cancel{x^2} - 10x + 25 - \cancel{x^2} = 3\)
\(-10x + 25 = 3\)
\(-10x = 3 - 25\)
\(-10x = -22\)
\(x = \frac{22}{10}\)
\(x = 2,2\)
Ответ: \(x = 2,2\).
б) \((2y + 1)^2 - 4y^2 = 5\)
\(\cancel{4y^2} + 4y + 1 - \cancel{4y^2} = 5\)
\(4y + 1 = 5\)
\(4y = 5 - 1\)
\(4y = 4\)
\(y = 1\)
Ответ: \(y = 1\).
в) \(9x^2 - 1 - (3x - 2)^2 = 0\)
\(9x^2 - 1 - (9x^2 - 12x + 4) = 0\)
\(\cancel{9x^2} - 1 - \cancel{9x^2} + 12x - 4 = 0\)
\(12x - 5 = 0\)
\(12x = 5\)
\(x = \frac{5}{12}\)
Ответ: \(x = \frac{5}{12}\).
г) \(x + (5x + 2)^2 = 25\,(1 + x^2)\)
\(x + 25x^2 + 20x + 4 = 25 + 25x^2\)
\(x + \cancel{25x^2} + 20x + 4 - \cancel{25x^2} - 25 = 0\)
\(21x - 21 = 0\)
\(21x = 21\)
\(x = 1\).
Ответ: \(x = 1\).
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,
2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.
3) При раскрытии формул, использовали свойство степени:
\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)
4) Умножение одночлена на многочлен:
\(a(b+c) = ab + ac\).
5) Вычитание одного многочлена из другого: у многочлена, перед которым стоит знак минус, при раскрытии скобок нужно поменять все знаки на противоположные.
6) Правило сложения подобных членов: складываем коэффициенты при одинаковых степенях переменных:
\(ax + bx=(a+b)x\).
7) Корни уравнения не изменяются если слагаемые перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом их знаки.
8) Линейное уравнение вида \(ax=b\) при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).
В каждом случае сначала раскрываем квадрат или раскрываем скобки, затем приводим подобные члены, получаем простое линейное уравнение и находим значение переменной.
№836 учебника 2013-2022 (стр. 170):
а) \(* + 56a + 49=\)
\(=* + 2\cdot{4a}\cdot{7} + 7^2=\)
\( = (4a)^2 + 2\cdot{4a}\cdot{7} + 7^2=\)
\(=(4a + 7)^2.\)
\(* = (4a)^2 = 16a^2\).
Ответ: \(* = 16a^2\).
б) \(36 - 12x + *=\)
\(=6^2 - 2\cdot6\cdot{x} + * =\)
\(=6^2 - 2\cdot6\cdot{x} + x^2=\)
\(=(6 - x)^2\)
\(* = x^2\).
Ответ: \(* = x^2\).
в) \(25a^2 + * + \tfrac14 b^2=\)
\(=(5a)^2 + * + (\tfrac12 b)^2=\)
\(=\bigl(5a + \tfrac12 b\bigr)^2 = 25a^2 + 5ab + \tfrac14 b^2\)
\(* = 5ab\).
Ответ: \(* = 5ab\).
г) \(0,01b^2 + * + 100c^2=\)
\(=(0,1b)^2 + * + (10c)^2=\)
\(=(0{,}1b + 10c)^2 = 0{,}01b^2 + 2bc + 100c^2\)
\(* = 2bc\).
Ответ: \(* = 2bc\).
Пояснения:
Использованные формулы:
1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,
2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.
При этом учитывали свойство степени:
\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)
Вернуться к содержанию учебника