Упражнение 950 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(5x^2 - 5y^2 = 5\bigl(x^2 - y^2\bigr) =\)

\(=5\,(x - y)\,(x + y).\)

б) \(am^2 - an^2 = a\bigl(m^2 - n^2\bigr) =\)

\(=a\,(m - n)\,(m + n).\)

в) \(2ax^2 - 2ay^2 = 2a\bigl(x^2 - y^2\bigr) =\)

\(=2a\,(x - y)\,(x + y).\)

г) \(9p^2 - 9 = 9\bigl(p^2 - 1\bigr) =\)

\(=9\,(p - 1)\,(p + 1).\)

д) \(16x^2 - 4 = 4\bigl(4x^2 - 1\bigr) =\)

\(=4((2x)^2 - 1^2)=4\,(2x - 1)\,(2x + 1).\)

е) \(75 - 27c^2 = 3\bigl(25 - 9c^2\bigr) =\)

\(=3\bigl(5^2 - (3c)^2\bigr) = 3\,(5 - 3c)\,(5 + 3c).\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Вынесение общего множителя за скобки:

\(ax+bx=(a+b)x\).

— Формула разности квадратов:

\(a^2 - b^2= (a - b)(a + b).\)

— Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n.\)

Пояснение к пункту а):

Сначала вынесли общий множитель \(5\), получив \(5(x^2 - y^2)\). Внутри скобок стоит разность квадратов \(x^2 - y^2\), которую разложили по формуле

\(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\).

Пояснение к пункту б):

В каждом слагаемом есть общий множитель \(a\), поэтому вынесли \(a\) за скобки, получив \(a(m^2 - n^2)\). Затем применили формулу разности квадратов

\(m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)\).

Пояснение к пункту в):

Общий множитель в \(2ax^2\) и \(-2ay^2\) — это \(2a\). Вынесли \(2a\) за скобки, получили \(2a(x^2 - y^2)\). Затем внутри скобок разложили разность квадратов \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\).

Пояснение к пункту г):

Числовой общий множитель у \(9p^2\) и \(-9\) — это \(9\). Вынесли его за скобки, получили \(9(p^2 - 1)\). Внутри скобок также разность квадратов:

\(p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)\).

Пояснение к пункту д):

Из \(16x^2\) и \(-4\) вынесли за скобки общий множитель \(4\), получили

\(4(4x^2 - 1)\). Затем \(4x^2 - 1\) — это разность квадратов \((2x)^2 - 1^2\), разложили как \((2x - 1)(2x + 1)\).

Пояснение к пункту е):

Сначала заметили общий множитель \(3\), вынесли его за скобки, получив \(3(25 - 9c^2)\). Внутри скобок \(25 - 9c^2\) — разность квадратов \((5)^2 - (3c)^2\), разложили как \((5 - 3c)(5 + 3c)\).

а) \(x^3 + x = 0\)

\(x\,(x^2 + 1) = 0 \)

\(x = 0\) или \(x^2 + 1 = 0 \)

                   \(x^2 = -1\) - нет решения.

Ответ: \(x = 0.\)

б) \(x^3 - 2x^2 = 0\)

\( x^2\,(x - 2) = 0 \)

\( x^2 = 0\) или \( x - 2 = 0\)

\(x = 0\)            \(x = 2\)

Ответ: \(x = 0\), \(x = 2.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— При решении уравнений часто можно найти общий множитель в каждом из членов:

\(ax + bx = (a + b)x\).

Вынеся этот множитель за скобки, мы понижаем степень оставшегося слагаемого и упрощаем уравнение.

— Формула разложения:

\( x^3 + x = x\,(x^2 + 1)\)

\(x^3 - 2x^2 = x^2\,(x - 2). \)

После этого каждое уравнение приводится к произведению множителей.

— Свойство нулевого произведения: если произведение нескольких множителей равно нулю: \( a_1 \cdot a_2 \cdots a_n = 0, \) то хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Это позволяет составить систему простейших уравнений \(a_i = 0\).

— В пункте а) уравнение

\(x\,(x^2 + 1) = 0\) даёт корень \(x = 0\). Уравнение \(x^2 + 1 = 0\) не имеет корней.

— В пункте б) уравнение

\(x^2\,(x - 2) = 0\) даёт корень \(x = 0\) и корень \(x = 2.\)