Упражнение 952 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( m x^2 - 49m = m\bigl(x^2 - 49\bigr) =\)

\(=m\,(x - 7)\,(x + 7). \)

б) \( a b^2 - 4a c^2 = a\bigl(b^2 - 4c^2\bigr) =\)

\(=a\bigl(b^2 - (2c)^2\bigr)=\)

\(=a\,(b - 2c)\,(b + 2c). \)

в) \( 4b^3 - b = b\bigl(4b^2 - 1\bigr) = \)

\(=b\bigl((2b)^2 - 1\bigr) = \)

\(=b\,\bigl(2b - 1\bigr)\,\bigl(2b + 1\bigr). \)

г) \( a^3 - a c^2 = a\bigl(a^2 - c^2\bigr) =\)

\(=a\,(a - c)\,(a + c). \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Вынесение общего множителя за скобки:

\(ax+bx=(a+b)x\).

— Формула разности квадратов:

\(a^2 - b^2= (a - b)(a + b).\)

— Свойства степени:

\((ab)^n = a^nb^n.\)

Сначала в каждом выражении выделяем наибольший общий множитель (например, \(m\), \(a\), \(b\) или \(a\)), затем внутри скобок получаем разность квадратов, которую раскладываем по формуле.

Пусть первое нечетное число:

\(2n + 1, \) где \(n\) — целое число. Следующее по порядку нечётное число будет равно \(2n + 3. \)

\( (2n + 3)^2 - (2n + 1)^2=\)

\(= (4n^2 + 12n + 9) - (4n^2 + 4n + 1)= \)

\(=\cancel{4n^2} + 12n + 9 - \cancel{4n^2} - 4n - 1 =\)

\(=8n + 8 = 8\,(n + 1) \) - делится на 8.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Любое нечётное число можно представить как \(2n + 1\), где \(n\) — целое.

— Следующее за \(2n+1\) нечётное число — это \((2n+1) + 2 = 2n+3\).

— Формула квадрата двучлена:

\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. \)

— Свойства степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

— Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии знаки слагаемых меняем на противоположные.

Пошаговое объяснение:

1) Задание переменных: Пусть первое нечётное число \(2n + 1\).

2) Второе нечётное число: Тогда следующее нечётное число равно \(2n + 3\).

3) Вычисление квадратов:

\( (2n + 3)^2 =(2n)^2 + 2\cdot2n\cdot3 + 3^2 =\)

\(=4n^2 + 12n + 9\),

\((2n + 1)^2 =(2n)^2 +2\cdot 2n\cdot1 + 1^2=\)

\(=4n^2 + 4n + 1. \)

4) Разность квадратов:

\( (2n + 3)^2 - (2n + 1)^2 =\)

\(=(4n^2 + 12n + 9) - (4n^2 + 4n + 1) = \)

\(=8n + 8. \)

5) Вынесение множителя:

\( 8n + 8 = 8\,(n + 1). \)

6) Заключение:

Так как \(n + 1\) — целое, произведение \(8(n + 1)\) делится на 8. Значит, разность квадратов двух последовательных нечётных чисел делится на 8.