Упражнение 1002 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( 0,027x^3 + 1 = (0,3x)^3 + 1^3 =\)

\(=\bigl(0,3x + 1\bigr)\Bigl((0,3x)^2 - 0,3x\cdot1 + 1^2\Bigr)= \)

\[ = (0,3x + 1)\bigl(0,09x^2 - 0,3x + 1\bigr). \]

б) \( y^6 - 0,001x^3 = (y^2)^3 - (0,1x)^3 =\)

\(=\bigl(y^2 - 0,1x\bigr)\Bigl((y^2)^2 + y^2\cdot0,1x + (0,1x)^2\Bigr)= \)

\( = (y^2 - 0,1x)\bigl(y^4 + 0,1xy^2 + 0,01x^2\bigr). \)

в) \( d^3 + 0,008c^3 = d^3 + (0,2c)^3 =\)

\(=(d + 0,2c)\bigl(d^2 - d\cdot0,2c + (0,2c)^2\bigr)= \)

\( = (d + 0,2c)\bigl(d^2 - 0,2cd + 0,04c^2\bigr). \)

г) \( 125 - 0,064p^3 = 5^3 - (0,4p)^3 =\)

\(=\bigl(5 - 0,4p\bigr)\bigl(5^2 + 5\cdot0,4p + (0,4p)^2\bigr)= \)

\( = (5 - 0,4p)\bigl(25 + 2p + 0,16p^2\bigr). \)

Пояснения:

Использованные формулы и приемы:

1. Формулы суммы кубов и разности кубов:

\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). \)

2. Свойство степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\).

\( (a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)-(a^3 - b^3)(a^3 + b^3)=2b^6 \)

\((a^2)^3 + (b^2)^3 - ((a^3)^2 - (b^3)^2) = 2b^6\)

\(a^6 + b^6 - (a^6 - b^6) = 2b^6 \)

\( \cancel{a^6} + b^6 - \cancel{a^6} + b^6 = 2\,b^6. \)

\(2b^6 = 2b^6\)

Тождество доказано.

Пояснения:

Использованные формулы и приёмы:

1) Сумма кубов:

\( a^3 + b^3 = (a + b)\,(a^2 - ab + b^2). \)

2) Разность квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)\,(a + b). \)

3) Свойства степени:

\((a^m)^n = a^{mn}\).

4) Раскрытие скобок:

\(a - (b + c) = a - b - c\).

5) Подобные члены:

\(ax + bx = (a + b)x\).

Произведение первых двух скобок по формуле суммы кубов двух выражений заменяем на:

\((a^2)^3 + (b^2)^3\).

Произведение вторых двух скобок по формуле разности квадратов двух выражений заменяем на:

\((a^3)^2 - (b^3)^2\).

Далее выполняем преобразования, используя свойства степени, приводим подобные члены, и в левой части равенства получаем \(2b^6\), что совпадает с правой частью равенства. Тем самым тождество доказано.