Упражнение 997 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 196

а) \( x^{10} - 1 =( x^5)^2 - 1^2 =\)

\(=(x^5 - 1)(x^5 + 1). \)

б) \( y^{12} - 16 = (y^6)^2 - 4^2 =\)

\(=(y^6 - 4)(y^6 + 4) = \)

\(=((y^3)^2 - 2^2)(y^6 + 4) = \)

\(= (y^3 - 2)(y^3 + 2)(y^6 + 4). \)

в) \( a^2 x^8 - 81 =(a^2x^4)^2 - 9^2 =\)

\(=(a x^4 - 9)(a x^4 + 9). \)

г) \( 36 - b^4 y^6 = 6^2 - (b^2y^3)^2 =\)

\(=(6 - b^2 y^3)(6 + b^2 y^3). \)

д) \( 25 p^4 q^4 - 1 = (5p^2q^2)^2 - 1^2 =\)

\(=(5 p^2 q^2 - 1)(5 p^2 q^2 + 1). \)

е) \( 121 m^8 n^8 - 9 =\)

\(=(11m^4n^4)^2 - 3^2 =\)

\(=(11 m^4 n^4 - 3)(11 m^4 n^4 + 3). \)

ж) \( 0{,}01 x^{16} - 0{,}16 =\)

\(=(0,1x^4)^2 - 0,4^2 =\)

\(=(0{,}1 x^8 - 0{,}4)(0{,}1 x^8 + 0{,}4). \)

з) \( 1{,}69 y^{14} - 1{,}21 =\)

\(=(1,3y^7)^2 - 1,1^2 =\)

\(=(1{,}3 y^7 - 1{,}1)(1{,}3 y^7 + 1{,}1). \)

и) \( \frac{4}{9} m^6 - \frac{25}{36} = \Bigl(\frac{2}{3} m^3\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{5}{6}\Bigr)^2=\)

\(=\Bigl(\frac{2}{3} m^3 - \frac{5}{6}\Bigr)\Bigl(\frac{2}{3} m^3 + \frac{5}{6}\Bigr). \)

Пояснения:

Основные правила и приёмы, использованные при разложении на множители:

1. Формула разности квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \)

2. Свойства степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\),

\(((a)^m)^n = a^{mn}\).

3. Для каждого выражения выполняется два действия:

— Шаг 1: Определяем подходящие выражения, чтобы данное выражение можно было представить как разность квадратов.

— Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов. Получив множители, при необходимости упрощаем числовые коэффициенты или дополнительно раскладываем разности квадратов внутри.

В результате получаем все выражения в виде произведения двух (или более, если есть дополнительное разложение) множителей.

\( (b + c - 2a)(c - b)+(c + a - 2b)(a - c)-(a + b - 2c)(a - b) \)

\( (\cancel{bc} - b^2 + c^2 - \cancel{bc} - 2ac + 2ab) + (\cancel{ac} - c^2 + a^2 - \cancel{ac} - 2ab + 2bc) - (a^2 - \cancel{ab} + \cancel{ab} - b^2 - 2ac + 2bc)=\)

\(= \cancel{-b^2} + \cancel{c^2} - \cancel{2ac} + \cancel{2ab} - \cancel{c^2} + \cancel{a^2} - \cancel{2ab} + \cancel{2bc} - \cancel{a^2} + \cancel{b^2} + \cancel{2ac} - \cancel{2bc} = 0\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c + d) = ac + ad + dc + bd\).

2) Раскрытие скобок:

\(a - (b + c) = a - b - c\).

3) Приведение подобных членов:

\(ax + bx = (a + b)x\).

Каждое произведение было раскрыто отдельно по правилу умножения многочлена на многочлен. Затем все полученные члены сложены с учётом знаков, после чего пары одинаковых по виду, но противоположных по знаку членов уничтожаются. В итоге остаётся нулевое выражение, что и демонстрирует тождество.