Упражнение 1004 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( 41^3 + 19^3 =\)

\(=(41 + 19)\bigl(41^2 - 41\cdot19 + 19^2\bigr) =\)

\(=60\cdot\bigl(1681 - 41\cdot19 + 361\bigr) \) - делится на 60.

б) \( 79^3 - 29^3 =\)

\(=(79 - 29)\bigl(79^2 + 79\cdot29 + 29^2\bigr) =\)

\(=50\cdot\bigl(79^2 + 79\cdot29 + 29^2\bigr) \) - делится на 50.

в) \( 66^3 + 34^3 =\)

\(=(66 + 34)\bigl(66^2 - 66\cdot34 + 34^2\bigr) =\)

\(=100\cdot\bigl((2\cdot33)^2 - 2\cdot33\cdot2\cdot17 + (2\cdot17)^2\bigr) =\)

\(=100\cdot\bigl(4\cdot33^2 - 4\cdot33\cdot17 + 4\cdot17^2\bigr) =\)

\(=100\cdot4\cdot\bigl(33^2 - 33\cdot17 + 17^2\bigr) =\)

\(= 400\cdot\bigl(33^2 - 33\cdot17 + 17^2\bigr) \) - делится на 400.

г) \( 54^3 - 24^3 =\)

\(=(54 - 24)\bigl(54^2 + 54\cdot24 + 24^2\bigr) =\)

\(=30\cdot\bigl((6\cdot9)^2 + 6\cdot9\cdot6\cdot4 + (6\cdot4)^2\bigr) =\)

\(=30\cdot\bigl(36\cdot81 + 36\cdot9\cdot4 + 36\cdot16\bigr) =\)

\(=30\cdot36\cdot\bigl(81 + 36 + 16\bigr) =\)

\(=1080\cdot\bigl(81 + 36 + 16\bigr)\) - делится на 1080.

Пояснения:

Использованные формулы и приемы:

1. Формулы суммы кубов и разности кубов:

\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). \)

2. Свойство степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\).

3. Свойство делимости: если в произведении один из множителей делится на какое-либо  число. то и все произведение делится на это число.

Каждое выражение раскладываем на множители по формуле разности кубов, затем в первой скобке выполняем вычисления и, если необходимо дополнительно выносим множитель за скобки из второй скобки.

\( \bigl(p^2 + c\,q^2\bigr)\,\bigl(r^2 + c\,s^2\bigr)=\bigl(p\,r + c\,q\,s\bigr)^2+c\,\bigl(p\,s - q\,r\bigr)^2 \)

\(p^2r^2 + c\,p^2s^2 + c\,q^2r^2 + c^2q^2s^2=p^2r^2 + 2c\,p\,r\,q\,s + c^2q^2s^2 + c\bigl(p^2s^2 - 2p\,s\,q\,r + q^2r^2\bigr)\)

\(p^2r^2 + c\,p^2s^2 + c\,q^2r^2 + c^2q^2s^2=p^2r^2 + \cancel{2c\,p\,r\,q\,s} + c^2q^2s^2 + c\,p^2s^2 - \cancel{2c\,p\,r\,q\,s} + c\,q^2r^2\)

\(p^2r^2 + c\,p^2s^2 + c\,q^2r^2 + c^2q^2s^2=p^2r^2 + c\,p^2s^2 + c\,q^2r^2 + c^2q^2s^2 \)

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1) Умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c + d) = ac + ad + dc + bd\).

2) Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)

3) Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

4) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c)=ab + ac.\)

5) Противоположные слагаемые:

при сложении членов с противоположными знаками \(+2c\,p\,r\,q\,s\) и \(-2c\,p\,r\,q\,s\) они взаимно уничтожаются.

Таким образом, обе части тождества приводятся к одному и тому же многочлену, что и доказывает его справедливость.