Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1174 учебника 2023-2025 (стр. 230):
Докажите, что прямые
\( x + y = 5, 2x - y = 16\) и \(x + 2y = 3 \)
пересекаются в одной точке. Каковы координаты этой точки?
№1174 учебника 2013-2022 (стр. 230):
Проходят ли прямые \( 2x + 3y = 20,\) \(3x - 5y = 11 \) и \( x + y = 9 \) через одну и ту же точку?
№1174 учебника 2023-2025 (стр. 230):
Вспомните:
№1174 учебника 2013-2022 (стр. 230):
Вспомните:
№1174 учебника 2023-2025 (стр. 230):
\( \begin{cases} x + y = 5,\\ 2x - y = 16,\\ x + 2y =3 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 3x = 21,\\ 2x - y = 16,\\ x + 2y =3 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x = \frac{21}{3},\\ y = 2x - 16,\\ x + 2y =3 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x = 7,\\ y = 2\cdot7 - 16,\\ x + 2y =3 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x = 7,\\ y = 14 - 16,\\ x + 2y =3 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x = 7,\\ y = -2,\\ x + 2y =3 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x = 7,\\ y = -2,\\ 7 + 2\cdot(-2) =3 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x = 7,\\ y = -2,\\ 3 =3 - верно. \end{cases} \)
Ответ: три прямые пересекаются в точке \((7; -2)\).
Пояснения:
– Прямые задаются уравнениями первой степени, их общая точка — решение соответствующей системы.
– Сначала нашли решение двух уравнений системы методом сложения: избавились от \(y\) и нашли \(x\), затем вычислили \(y\).
– Проверили найденную пару в третьем уравнении, убедившись, что она ему также соответствует.
– Таким образом доказано, что все три прямые пересекаются в одной единственной точке \((7;-2)\).
№1174 учебника 2013-2022 (стр. 230):
\( \begin{cases} 2x + 3y = 20,\\ 3x - 5y = 11,\\ x+y=9 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 2x + 3y = 20,\\ 3(9-y) - 5y = 11,\\ x=9 - y \end{cases} \)
\(3(9-y) - 5y = 11\)
\(27 - 3y - 5y = 11\)
\(-8y = 11 - 27\)
\(-8y = -16\)
\(y=\frac{16}{8}\)
\(y = 2\)
\(x=9 - 2 = 7\)
\(2\cdot7 + 3\cdot2 = 20\)
\(14 + 6 = 20\)
\(20 = 20\) - верно.
Ответ: прямые проходят через одну и ту же точку \((7;2)\).
Пояснения:
1) Если система из трех линейных уравнений имеет решение, то эти прямые проходят через одну и ту же точку.
2) Чтобы решить систему из трех уравнений, достаточно решить любые два уравнения, найти значения \(x\) и \(y\) и подставить их в третье уравнение, если числовое равенство при подстановке получится верным, то полученные значения \(x\) и \(y\) являются решениями этой системы, если числовое равенство при подстановке получится неверным, то система не имеет решения.
2) При решении системы применён метод подстановки:
– из одного уравнения выражаем одну переменную через другую;
– подставляем это выражение в другое уравнение, получая уравнение с одной переменной;
– решаем полученное уравнение, находим значение первой переменной;
– затем вычисляем вторую переменную, подставляя найденное значение обратно.
Вернуться к содержанию учебника