Упражнение 1173 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 230

\( \begin{cases} a^2 + b^2 = 16,\\ a^2 + 8a + b^2 - 8b + 16 = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} a^2 + b^2 = 16,\\ (a^2 +  b^2) + (8a - 8b) + 16 = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} a^2 + b^2 = 16,\\ 16 + 8(a - b) + 16 = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} a^2 + b^2 = 16,\\ 8(a - b) + 32 = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} a^2 + b^2 = 16,\\ 8(a - b) = -32  / : 8 \end{cases} \)

\( \begin{cases} a^2 + b^2 = 16,\\ a - b = -4 \end{cases} \)

а) Если \(a=0,\; b=4\), то

\( \begin{cases} 0^2 + 4^2 = 16,\\ 0 - 4 = -4 \end{cases} \)

\( \begin{cases}16 = 16 - верно,\\ -4 = -4 - верно. \end{cases} \)

Ответ: пара \(a=0,\; b=4\) является решением системы уравнений.

б) \(a=0,\; b=-4\)

\( \begin{cases} 0^2 + (-4)^2 = 16,\\ 0 - (-4) = -4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 16 = 16 - верно,\\ 4 = -4 неверно. \end{cases} \)

Ответ: пара \(a=0,\; b=-4\) не является решением системы уравнений.

в) Если \(a=-4,\; b=0\), то

\( \begin{cases} (-4)^2 + 0^2 = 16,\\ -4 - 0 = -4 \end{cases} \)

\( \begin{cases}16 = 16 - верно,\\ -4 = -4 - верно. \end{cases} \)

Ответ: пара \(a=-4,\; b=0\) является решением системы уравнений.

Пояснения:

– Из первого уравнения выражается сумма квадратов переменных.

– Подстановка этой суммы в второе уравнение позволяет упростить его.

–  Подстановка исходных трёх пар в упрощенную систему показывает, что только \((0;4)\) и \((-4;0)\) удовлетворяют обеим уравнениям и являются решениями системы.

а) \( \begin{cases} 5x - 4y = 1,\\ 3x + 1 = 13,\\ 7x - 5y = 1; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5x - 4y = 1,\\ 3x = 12,\\ 7x - 5y = 1; \end{cases} \)

\( \begin{cases}  4y = 5x - 1,\\ x = \frac{12}{3},\\ 5y = 7x - 1; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4y = 5\cdot4 - 1,\\ x = 4,\\ 5y =7 \cdot4 - 1; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4y = 20 - 1,\\ x = 4,\\ 5y = 28 - 1; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 4y = 19,\\ x = 4,\\ 5y = 27; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{19}{4},\\ x = 4,\\ y = \frac{27}{5}; \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 4,75,\\ x = 4,\\ y = 5,4; \end{cases} \)

\(4,75 \neq 5,4\)

Ответ: система не имеет решения.

б) \( \begin{cases} 11x + 3y = 1,\\ 2x + y = 3,\\ 5x + 2y = 4; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 11x + 3y = 1,\\ y = 3 - 2х,\\ 5x + 2(3 - 2x) = 4; \end{cases} \)

\( 5x + 2(3 - 2x) = 4\)

\( 5x + 6 - 4x = 4\)

\( x = 4 - 6\)

\(x = -2\)

\(y = 3 - 2\cdot(-2) = 3 + 4 = 7\)

11x + 3y = 1

\(11\cdot(-2) + 3\cdot7 = 1\)

\(-22 + 21 = 1\)

\(-1 = 1\) - неверно.

Ответ: система не имеет решения.

Пояснения:

1) Чтобы проверить систему из трех уравнений, достаточно решить любые два уравнения, найти значения \(x\) и \(y\) и подставить их в третье уравнение, если числовое равенство при подстановке получится верным, то полученные значения \(x\) и \(y\) являются решениями этой системы, если числовое равенство при подстановке получится неверным, то система не имеет решения.

2) При решении систем применён метод подстановки:

– из одного уравнения выражаем одну переменную через другую;

– подставляем это выражение в другое уравнение, получая уравнение с одной переменной;

– решаем полученное уравнение, находим значение первой переменной;

– затем вычисляем вторую переменную, подставляя найденное значение обратно.

3) В каждой системе решения двух уравнений не превращают третье уравнение в верное числовое равенство, поэтому системы решений не имеют.