Упражнение 1168 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 229

\(a x - y = 4\)

\(M(3;5)\)

\( a\cdot3 - 5 = 4 \)

\(3a = 4 + 5 \)

\(3a = 9 \)

\(a = \frac{9}{3}\)

\(a = 3 \)

\( 3x - y = 4\)

\(y = 3x - 4 \)

Пояснения:

– Линейная функция задаётся уравнением вида \(y = kx + b\), где \(k\) — коэффициент наклона, \(b\) — свободный член.

– Подстановка координат точки в уравнение позволяет найти неизвестный коэффициент.

– После нахождения \(a\) удобно перевести уравнение к явному виду \(y = kx + b\) для построения графика.

– Две точки определяют прямую: достаточно взять \(x=0\) и ещё одно значение, например \(x=2\).

– Полученная прямая проходит через \(M(3;5)\).

а) \( \begin{cases} 25x - 18y = 75,\\ 5x - 4y = 5    /\times(-5) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 25x - 18y = 75,\\ -25x + 20y = -25 \end{cases} \)     \((+)\)

\( \begin{cases} 2y = 50,\\ -25x + 20y = -25 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac{50}{2},\\ 25x = 20y + 25 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 25,\\ 25x = 20\cdot25 + 25 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 25,\\ 25x = 500 + 25 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 25,\\ 25x = 525 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 25,\\ x = \frac{525}{25} \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 25,\\ x = 21 \end{cases} \)

Ответ: \(x = 21\), \(y = 25\).

б) \( \begin{cases} 35x = 3y + 5,\\ 49x = 4y + 9; \end{cases} \)

\( \begin{cases} 35x - 3y = 5,    /\times(-4)\\ 49x - 4y = 9   /\times3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -140x + 12y = -20, \\ 147x - 12y = 27 \end{cases} \)      \((+)\)

\( \begin{cases} 7x = 7, \\ 147x - 12y = 27 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 1, \\ 12y = 147x - 27 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 1, \\ 12y = 147\cdot1 - 27 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 1, \\ 12y = 120 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 1, \\ y = \frac{120}{12} \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 1, \\ y = 10 \end{cases} \)

Ответ: \(x = 1\), \(y = 10\).

в) \( \begin{cases} 8y - 5z = 23,   /\times(-2) \\ 3y - 2z = 6   /\times5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -16y + 10z = -46,\\ 15y - 10z = 30 \end{cases} \)     \((+)\)

\( \begin{cases} -y += -16,\\ 15y - 10z = 30 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 16,\\ 10z = 15y - 30 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 16,\\ 10z = 15\cdot16 - 30 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 16,\\ 10z = 240 - 30 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 16,\\ 10z = 210 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 16,\\ z = \frac{210}{10} \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 16,\\ z = 21 \end{cases} \)

Ответ: \(y = 16,\) \( z = 21\).

г) \( \begin{cases} 13x - 15y = -48,\\ 2x + y = 29 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 13x - 15\cdot(29 - 2x) = -48,\\ y = 29 - 2x; \end{cases} \)

\(13x - 435 + 30x = -48\)

\(13x + 30x = -48 + 435\)

\(43x = 387\)

\(x = \frac{387}{43}\)

\(x = 9\)

\(y = 29 - 2\cdot9 = 11. \)

Ответ: \(x = 9,\) \(y = 11. \)

д) \( \begin{cases} 7x + 4y = 74,\\ 3x + 2y = 32 /\times(-2) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 7x + 4y = 74,\\ -6x - 4y = -64 \end{cases} \)    \((+)\)

\( \begin{cases} x = 10,\\ 7x + 4y = 74 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 10,\\ 4y = 74 - 7x \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 10,\\ 4y = 74 - 7\cdot10 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 10,\\ 4y = 4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 10,\\ y = 1 \end{cases} \)

Ответ: \(x = 10,\) \( y = 1.\)

е) \( \begin{cases} 11u + 15v = 1{,}9,\\ -3u + 5v = 1{,}3   /\times(-3) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 11u + 15v = 1{,}9,\\ 9u - 15v = -3{,}9 \end{cases} \)     \((+)\)

\( \begin{cases} 20u = -2,\\ 9u - 15v = -3{,}9 \end{cases} \)

\( \begin{cases} u = -\frac{2}{20},\\ 15v = 9u + 3{,}9 \end{cases} \)

\( \begin{cases} u = -0,1,\\ 15v = 9\cdot(-0,1) + 3{,}9 \end{cases} \)

\( \begin{cases} u = -0,1,\\ 15v = -0,9 + 3{,}9 \end{cases} \)

\( \begin{cases} u = -0,1,\\ 15v =3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} u = -0,1,\\ v = \frac{3}{15} \end{cases} \)

\( \begin{cases} u = -0,1,\\ v = 0,2 \end{cases} \)

Ответ: \(u = -0,1,\) \( v = 0,2.\)

Пояснения:

1) Решение системы методом сложения (пункты а), б), в), д), е)): складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там где необходимо одно из уравнений или оба уравнения умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

2) После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

3) Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

4) После нахождения одной переменной подстановка в любое исходное уравнение даёт значение второй.

5) При решении систем применён метод подстановки (пункт г):

– из одного уравнения выражаем одну переменную через другую;

– подставляем это выражение в другое уравнение, получая уравнение с одной переменной;

– решаем полученное уравнение, находим значение первой переменной;

– затем вычисляем вторую переменную, подставляя найденное значение обратно.