Упражнение 1165 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 229

\(3x + 2y = -4\)

Если \( x > 0\) и \( y > 0\), то

\( 3x > 0\) и \( 2y > 0\), значит,

\( 3x + 2y > 0 \), при этом \( -4 < 0 \), значит, не существует точки с \(x>0\) и \(y>0\) на этом графике.

Пояснения:

– Если переменные \(x\) и \(y\) положительны, то \( 3x\) и \( 2y\) положительны.

– Уравнение требует, чтобы сумма \(3x + 2y\) была равна \(-4\), то есть отрицательна.

– Положительное число не может равняться отрицательному — получаем противоречие.

– Метод «доказательство от противного» позволяет показать невозможность существования такой точки.

\( \begin{cases} 2x + y = 7,\\ y - kx = 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -2x + 3,\\ y = kx + 3 \end{cases} \)

Система имеет единственное решение при любом \(k \neq -2\).

Пусть \(k=4\):

\( \begin{cases} y = -2x + 3,   /\times2 \\ y = 4x + 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2y = -4x + 6, \\ y = 4x + 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3y = 9, \\ y = 4x + 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac93, \\ 4x = y - 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 3, \\ 4x = 3 - 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 3, \\ 4x = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 3, \\ x = 0 \end{cases} \)

\((0; 3)\) - единственное решение системы при \(k=4\).

Ответ: \(k=4\).

Пояснения:

– Линейные уравнения в виде \(y = k x + b\) задают прямые с угловыми коэффициентами \(k\).

– Если угловые коэффициенты двух прямых различны (\(k_1 \neq k_2\)), они пересекаются в единственной точке и тогда система, состоящая из уравнений этих прямых имеет единственное решение (координаты точки пересечения прямых).

– Здесь \(k_1 = -2\) и \(k_2 = k\); условие единственности пересечения: \(k \neq -2\).

– Выбор \(k=4\) удовлетворяет этому условию и даёт конкретное решение.