Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1180 учебника 2023-2025 (стр. 230):
(Для работы в парах.) Подберите какое-либо линейное уравнение с двумя переменными, которое вместе с уравнением \(10x + 5y = 1\) составило бы систему:
а) имеющую одно решение; б) имеющую бесконечно много решений; в) не имеющую решений.
1) Выполните совместно задание а) и решите составленную систему.
2) Распределите, кто выполняет задание б), а кто - задание в), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.
№1180 учебника 2013-2022 (стр. 231):
Если каждую сторону прямоугольника увеличить на 3 см, то его площадь увеличится на 90 см². Если же длину прямоугольника увеличить на 5 см, а ширину уменьшить на 2 см, то его площадь увеличится на 20 см². Найдите стороны прямоугольника.
№1180 учебника 2023-2025 (стр. 230):
Вспомните:
№1180 учебника 2013-2022 (стр. 231):
Вспомните:
№1180 учебника 2023-2025 (стр. 230):
\(10x + 5y = 1\)
\(5y = -10x + 1\) / : 5
\(y = -\frac{10}{5}x + \frac{1}{5}\)
\(y = -2x + 0,2\)
а) Одно решение имеет система:
\( \begin{cases} 10x + 5y = 1,\\ y = 2x + 1; \end{cases} \)
\( \begin{cases} 10x + 5\cdot(2x + 2) = 1,\\ y = 2x + 1; \end{cases} \)
\(10x + 5\cdot(2x + 1) = 1\)
\(10x+10x + 5 = 1\)
\(20x=1-5\)
\(20x = -4\)
\(x=-\frac{4}{20}\)
\(x = -0,2\)
\(y = 2\cdot(-0,2) + 1 =
\(=-0,4 + 1 = 0,6\)
Ответ: \(x = -0,2\), \(y = 0,6\).
б) Бесконечно много решений имеет система:
\( \begin{cases} 10x + 5y = 1,\\ 20x + 10y = 2 / : 2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} 10x + 5y = 1,\\ 10x + 5y = 1 \end{cases} \)
в) Не имеет решений система:
\( \begin{cases} 10x + 5y = 1,\\ y = -2x + 3 \end{cases} \)
\( \begin{cases} y = -2x + 0,2,\\ y = -2x + 3 \end{cases} \).
Пояснения:
– Чтобы составить систему с данным уравнением и определенным количеством решением, приводим данное уравнение к виду \(y = kx + b\).
– Второе уравнение составляем так, что \(k_1 \neq k_2\), тогда прямые будут пересекаться и система будет иметь одно решение.
– Второе уравнение составляем так, что \(k_1 = k_2\) и \(b_1 = b_2\), тогда прямые будут совпадать и система будет иметь бесконечно много решений.
– Второе уравнение составляем так, что \(k_1 = k_2\) и \(b_1 \neq b_2\), тогда прямые будут параллельны и у системы не будет решений.
№1180 учебника 2013-2022 (стр. 231):
Пусть \(x\) см и \(y\) см первоначальные длина и ширина прямоугольника.
Составим систему уравнений:
\( \begin{cases} (x + 3)(y + 3) = xy + 90,\\ (x + 5)(y - 2) = xy + 20 \end{cases} \)
\( \begin{cases} xy + 3x + 3y + 9 = xy + 90,\\ xy - 2x + 5y - 10 = xy + 20 \end{cases} \)
\( \begin{cases} \cancel{xy} + 3x + 3y - \cancel{xy} = 90 - 9,\\ \cancel{xy} - 2x + 5y - \cancel{xy} = 10 + 20 \end{cases} \)
\(\begin{cases} 3x + 3y = 81, / : 3 \\ -2x + 5y = 30 \end{cases} \)
\(\begin{cases} x + y = 27,\\ -2x + 5y = 30 \end{cases} \)
\(\begin{cases} x = 27 - y,\\ -2(27 - y) + 5y = 30 \end{cases} \)
\(-2(27 - y) + 5y = 30\)
\(-54 + 2y + 5y = 30\)
\(7y = 30 + 54\)
\(7y = 84\)
\(y = \frac{84}{7}\)
\(y = 12\)
\(x = 27 - 12 = 15\)
Ответ: длина прямоугольника равна 15 см, а ширина - 12 см.
Пояснения:
– Использована формула площади прямоугольника \(S = xy\) и её изменение при изменении сторон.
– При увеличении обеих сторон на одинаковую величину получаем уравнение от разницы новых и старых площадей.
– При разных изменениях сторон также составляется уравнение по увеличению площади.
– Составлена система из двух линейных уравнений по неизвестным \(x\) и \(y\).
– Решение системы методом подстановки:
Вернуться к содержанию учебника