Упражнение 1181 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 231

\( \begin{cases} 2x + y = 7,\\ y - kx = 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = -2x + 3,\\ y = kx + 3 \end{cases} \)

Система имеет единственное решение при любом \(k \neq -2\).

Пусть \(k=4\):

\( \begin{cases} y = -2x + 3,   /\times2 \\ y = 4x + 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2y = -4x + 6, \\ y = 4x + 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3y = 9, \\ y = 4x + 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \frac93, \\ 4x = y - 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 3, \\ 4x = 3 - 3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 3, \\ 4x = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = 3, \\ x = 0 \end{cases} \)

\((0; 3)\) - единственное решение системы при \(k=4\).

Ответ: \(k=4\).

Пояснения:

– Линейные уравнения в виде \(y = k x + b\) задают прямые с угловыми коэффициентами \(k\).

– Если угловые коэффициенты двух прямых различны (\(k_1 \neq k_2\)), они пересекаются в единственной точке и тогда система, состоящая из уравнений этих прямых имеет единственное решение (координаты точки пересечения прямых).

– Здесь \(k_1 = -2\) и \(k_2 = k\); условие единственности пересечения: \(k \neq -2\).

– Выбор \(k=4\) удовлетворяет этому условию и даёт конкретное решение.

Пусть \(x\) и \(y\) записанные числа. Тогда их сумма равна \(x+y\).

30% = 0,3;

10% = 0,1;

20% = 0,2.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} (x + 0,3x) + (y - 0,1y) = x + y + 6,\\ (x -0,1x) + (y-0,2y) = x + y - 16 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 1,3x + 0,9y = x + y + 6,\\ 0,9x + 0,8y = x + y - 16 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 1,3x - x + 0,9y - y = 6,\\ 0,9x - x + 0,8y - y = -16 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 0,3x - 0,1y = 6,  /\times20 \\ -0,1x - 0,2y = -16  /\times(-10) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 6x - 2y = 120, \\ x + 2y = 160 \end{cases} \)      \((+)\)

\( \begin{cases} 7x = 280, \\ x + 2y = 160 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = \frac{280}{7}, \\ 2y = 160 - x \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 40, \\ 2y = 160 - 40 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 40, \\ 2y = 120 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 40, \\ y = \frac{120}{2} \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 40, \\ y = 60 \end{cases} \)

Ответ: записаны числа 40 и 60.

Пояснения:

– Для каждого условия составили уравнение, сравнивая новую сумму через доли от \(x\) и \(y\) с исходной.

– Упростили полученные уравнения, выполнив сложение и вычитание подобных слагаемых, перенос членов с переменными в левую часть уравнения со сменой знака.

– Решили систему методом сложения: складываем почленно уравнения системы так, чтобы в новом уравнении исчезла одна из переменных. Там, где необходимо, одно из уравнений или оба уравнения делим или умножаем на числа так, чтобы перед одной из переменных получить противоположные коэффициенты, которые при сложении приведут к сокращению выражений с этой переменной.

– После сложения уравнений системы получается линейное уравнение с одной переменной, решение которого дает значение этой переменной.

– Уравнение вида \(ax = b\) называется линейным и при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x=\frac{b}{a}\).

– Подстановка: после нахождения одной переменной подставляем её значение в одно из исходных уравнений для вычисления значения второй переменной.