Упражнение 80 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

a) \(\displaystyle \frac{1}{ab} ^{\color{blue}{\backslash{c}}} + \frac{1}{ac} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} + \frac{1}{bc} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)

\(=\displaystyle \frac{c + b + a}{abc}.\)

б) \(\displaystyle \frac{ab - b}{a} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} - \frac{ab - a}{b} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} - \frac{a^2 - b^2}{ab}=\)

\(=\displaystyle \frac{b(ab - b) - a(ab - a) - (a^2 - b^2)}{ab} =\)

\(=\frac{ab^2 - \cancel{b^2} - a^2b + \cancel{a^2} - \cancel{a^2} + \cancel{b^2}}{ab} =\)

\(=\frac{ab^2 - a^2b}{ab} =\frac{\cancel{ab}(b - a)}{\cancel{ab}} =\)

\(=b - a.\)

в) \(\displaystyle \frac{b - a}{ab} ^{\color{blue}{\backslash{c}}} + \frac{c - b}{bc} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} - \frac{c - a}{ac} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} =\)

\(=\displaystyle \frac{c(b - a) + a(c - b) - b(c - a)}{abc} =\)

\(=\frac{\cancel{bc} - \cancel{ac} + \cancel{ac} - \cancel{ab} - \cancel{bc} + \cancel{ab}}{abc} =\)

\(=\frac{0}{abc} = 0.\)

г) \(\displaystyle \frac{3ab + 2b^2}{ab} - \frac{a + 2b}{a} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} + \frac{a - 2b}{b} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)

\(=\displaystyle \frac{(3ab + 2b^2) - b(a + 2b)+a(a - 2b)}{ab} =\)

\(=\displaystyle \frac{\cancel{3ab} + \cancel{2b^2} - \cancel{ab} - \cancel{2b^2}+a^2 - \cancel{2ab}}{ab} =\)

\(=\displaystyle \frac{a^{\cancel{2}}}{\cancel{a}b}=\displaystyle \frac{a}{b}.\)

Пояснения:

1. Для сложения/вычитания дробей сначала приводят их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель соответствующих дробей на недостающие множители.

2. После этого выполняют действия с числителями (приводят подобные), оставляя общий знаменатель.

3. Затем, при возможности, сокращают полученную дробь на общий множитель числителя и знаменателя.

a) \(x + \frac{1}{y} =\frac{x}{1} ^{\color{blue}{\backslash{y}}} + \frac{1}{y} =\)

\(= \frac{xy + 1}{y}.\)

б) \(\frac{1}{a} - a =\frac{1}{a} - \frac{a}{1} ^{\color{blue}{\backslash{}a}} = \)

\(= \frac{1 - a^2}{a}.\)

в) \(3a - \frac{a}{4} =\frac{3a}{1} ^{\color{blue}{\backslash4}} - \frac{a}{4} =\)

\(= \frac{12a - a}{4} = \frac{11a}{4}.\)

г) \(5b - \frac{2}{b} =\frac{5b}{1} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} - \frac{2}{b} =\)

\(= \frac{5b^2 - 2}{b}.\)

д) \(\frac{a^2 + b}{a} - a =\frac{a^2 + b}{a} - \frac{a}{1} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)

\(= \frac{\cancel{a^2} + b - \cancel{a^2}}{a} = \frac{b}{a}.\)

е) \(2p - \frac{4p^2 + 1}{2p} =\frac{2p}{1} ^{\color{blue}{\backslash{2p}}} - \frac{4p^2 + 1}{2p} =\)

\(= \frac{4p^2 - (4p^2 + 1)}{2p} =\)

\(=\frac{4p^2 - 4p^2 - 1}{2p} = \frac{-1}{2p}= -\frac{1}{2p}.\)

ж) \(\frac{(a - b)^2}{2a} + b =\frac{(a - b)^2}{2a} + \frac{b}{1} ^{\color{blue}{\backslash{2a}}} =\)

\(= \frac{(a - b)^2 + 2ab}{2a} = \)

\(=\frac{a^2 - \cancel{2ab} + b^2 + \cancel{2ab}}{2a} = \frac{a^2 + b^2}{2a}.\)

з) \(c - \frac{(b + c)^2}{2b} =\frac{c}{1} ^{\color{blue}{\backslash{2b}}} - \frac{(b + c)^2}{2b} =\)

\(=\frac{2bc-(b + c)^2}{2b}=\)

\(= \frac{2bc - (b^2 + 2bc + c^2)}{2b} =\)

\(= \frac{\cancel{2bc} - b^2 - \cancel{2bc} - c^2}{2b} =\)

\(=\frac{-b^2 - c^2}{2b}=-\frac{b^2 + c^2}{2b}.\)

Пояснения:

Использованные правила:

1. Выражения без знаменателей сначала записываем в виде дробей со знаменателем 1, затем для сложения/вычитания дробей приводят их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель соответствующих дробей на недостающие множители. После этого выполняют действия с числителями, оставляя общий знаменатель.

2. Приведение подобных слагаемых:

\(ax+bx=(a+b)x\).

3. Раскрытие скобок:

- квадрат разности двух выражений:

\(\;(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2;\)

- квадрат суммы двух выражений:

\(\;(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2;\)

- противоположные выражения:

\(-(a-b) = -a+b.\)