Упражнение 85 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( x - \frac{x - y}{2} + \frac{x + y}{4} =\)

\(=\frac{x}{1} ^{\color{blue}{\backslash4}} - \frac{x - y}{2} ^{\color{blue}{\backslash2}} + \frac{x + y}{4} =\)

\(= \frac{4x - 2(x - y) + (x + y)}{4} = \)

\(=\frac{4x - 2x + 2y + x + y}{4} =\)

\(=\frac{3x + 3y}{4} =\frac{3(x + y)}{4} .\)

б) \( \frac{3}{x} - 2 - \frac{5}{x} =\)

\(= \frac{3}{x} - \frac21 ^{\color{blue}{\backslash{x}}} - \frac{5}{x} =\)

\(= \frac{3 - 2x - 5}{x} = \frac{-2 - 2x}{x} =\)

\(=\frac{-2(x + 1)}{x} = -\frac{2(x + 1)}{x} .\)

в) \( 3 - \frac{2x - y}{4} + \frac{x + 4y}{12} =\)

\(= \frac31 ^{\color{blue}{\backslash12}} - \frac{2x - y}{4} ^{\color{blue}{\backslash3}} + \frac{x + 4y}{12} =\)

\(= \frac{36 - 3(2x - y) + (x + 4y)}{12} =\)

\(=\frac{36 - 6x + 3y + x + 4y}{12} =\)

\(=\frac{36 - 5x + 7y}{12}.\)

г) \( \frac{6a - 4b}{5} - \frac{b + 7a}{3} - 2 = \)

\(= \frac{6a - 4b}{5} ^{\color{blue}{\backslash3}} - \frac{b + 7a}{3} ^{\color{blue}{\backslash5}} - \frac21 ^{\color{blue}{\backslash15}} = \)

\(= \frac{3(6a - 4b) - 5(b + 7a) - 30}{15} =\)

\(=\frac{18a - 12b - 5b - 35a - 30}{15} =\)

\(=\frac{-17a - 17b - 30}{15} =\)

\(=-\frac{17a + 17b + 30}{15}.\)

Пояснения:

Использованные правила:

1) Выражения без знаменателей сначала записываем в виде дробей со знаменателем 1, затем для сложения/вычитания дробей приводят их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель соответствующих дробей на недостающие множители. После этого выполняют действия с числителями, оставляя общий знаменатель.

2) Приведение подобных слагаемых:

\(ax+bx=(a+b)x\).

3) Раскрытие скобок:

- противоположные выражения:

\(-(a-b) = -a+b;\)

- распределительное свойство умножения:

\(k(a+b)=ka+kb.\)

а) \( \frac{3x}{5(x+y)} ^{\color{blue}{\backslash3}} - \frac{2y}{3(x+y)} ^{\color{blue}{\backslash5}} =\)

\(=\frac{9x - 10y}{15(x+y)} .\)

б) \( \frac{a^2}{5(a-b)} ^{\color{blue}{\backslash4}} - \frac{b^2}{4(a-b)} ^{\color{blue}{\backslash5}} =\)

\(= \frac{4a^2 - 5b^2}{20(a-b)}.\)

в) \(\frac{3}{ax - ay} + \frac{2}{by - bx}=\)

\(\frac{3}{a(x - y)} + \frac{2}{-b(x-y)}=\)

\(= \frac{3}{a(x-y)} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} - \frac{2}{b(x-y)} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)

\(=\frac{3b - 2a}{ab(x-y)}.\)

г) \( \frac{13c}{b m - b n} - \frac{12b}{c n - c m}=\)

\(= \frac{13c}{b(m-n)} - \frac{12b}{-c(m-n)} = \)

\(=\frac{13c}{b(m-n)} ^{\color{blue}{\backslash{c}}} + \frac{12b}{c(m-n)} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} =\)

\(= \frac{13c^2 + 12b^2}{bc(m-n)}.\)

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) Затем выполняют действия с числителями, оставляя общий знаменатель.

3) Вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\);

\(kx-ky=-k(y-x)\).

4) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть

\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)