Упражнение 88 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

a) \( \frac{p}{2x+1} ^{\color{blue}{\backslash{3x-2}}} - \frac{p}{3x-2} ^{\color{blue}{\backslash{2x+1}}} =\)

\(= \frac{p(3x-2) - p(2x+1)}{(2x+1)(3x-2)} =\)

\(=\frac{3px - 2p - 2px - p}{(2x+1)(3x-2)} =\)

\(=\frac{px - 3p}{(2x+1)(3x-2)} =\)

\(=\frac{p(x - 3)}{(2x+1)(3x-2)}.\)

б) \( \frac{6a}{x - 2y} ^{\color{blue}{\backslash{}x+y}} + \frac{2a}{x + y} ^{\color{blue}{\backslash{}x-2y}} =\)

\(=\displaystyle \frac{6a(x+y) + 2a(x-2y)}{(x-2y)(x+y)} =\)

\(=\frac{6ax + 6ay + 2ax - 4ay}{(x-2y)(x+y)} =\)

\(=\frac{8ax + 2ay}{(x-2y)(x+y)} =\)

\(=\frac{2a(4x + y)}{(x-2y)(x+y)}.\)

в) \( \frac{a}{5x-10} + \frac{a}{6x-12}=\)

\(= \frac{a}{5(x-2)} ^{\color{blue}{\backslash6}} + \frac{a}{6(x-2)} ^{\color{blue}{\backslash5}} =\)

\(= \frac{6a + 5a}{30(x-2)} = \frac{11a}{30(x-2)}.\)

г) \( \frac{5b}{12a-36} - \frac{b}{48-16a}=\)

\(= \frac{5b}{12(a-3)} - \frac{b}{-16(a-3)}=\)

\(= \frac{5b}{12(a-3)} ^{\color{blue}{\backslash4}} + \frac{b}{16(a-3)} ^{\color{blue}{\backslash3}} =\)

\( = \frac{20b + 3b}{48(a-3)} = \frac{23b}{48(a-3)}.\)

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.

3) Вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\);

\(kx-ky=-k(y-x)\).

4) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть

\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)

a) \( \frac{a^2}{a x - x^2} + \frac{x}{x - a} =\)

\(= \frac{a^2}{a x - x^2} + \frac{x}{-(a-x)} =\)

\(=\frac{a^2}{x(a - x)} - \frac{x}{a - x} ^{\color{blue}{\backslash{x}}} =\)

\(=\frac{a^2 - x^2}{x(a - x)} = \frac{\cancel{(a - x)}(a + x)}{x\cancel{(a - x)}} =\)

\(=\frac{a + x}{x}.\)

б) \( \frac{b^2 - 4b y}{2y^2 - b y} - \frac{4y}{b - 2y} =\)

\(=\frac{b^2 - 4b y}{y(2y-b)} - \frac{4y}{-(2y-b)} =\)

\(=\frac{b^2 - 4b y}{y(2y-b)} + \frac{4y}{(2y-b)} ^{\color{blue}{\backslash{y}}} =\)

\(=\frac{b^2 - 4b y + 4y^2}{y(b - 2y)} =\)

\(=\frac{(b - 2y)^{\cancel{2}}}{y\cancel{(b - 2y)}} = \frac{2y - b}{y}.\)

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.

3) Вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\).

4) Противоположные выражения:

\(a-b=-(b-a)\).

5) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть

\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)

6) Далее, если возможно раскладываем на множители числитель полученной дроби:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab+b^2\);

- свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).

7) Сокращаем числитель и знаменатель дроби на их общий множитель.