Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№90 учебника 2023-2025 (стр. 27):
Выполните действие:
a) \(\displaystyle \frac{a^2}{a x - x^2} + \frac{x}{x - a};\)
б) \(\displaystyle \frac{b^2 - 4b y}{2y^2 - b y} - \frac{4y}{b - 2y}.\)
№90 учебника 2013-2022 (стр. 25):
Преобразуйте в дробь выражение:
а) \(1 - \frac{a+b}{a-b};\)
б) \(\frac{a^2+b^2}{a-b} - a;\)
в) \(m - n + \frac{n^2}{m+n};\)
г) \(a + b - \frac{a^2+b^2}{a+b};\)
д) \(x - \frac{9}{x-3} - 3;\)
е) \(a^2 - \frac{a^4+1}{a^2-1} + 1.\)
№90 учебника 2023-2025 (стр. 27):
Вспомните:
№90 учебника 2013-2022 (стр. 25):
Вспомните:
№90 учебника 2023-2025 (стр. 27):
a) \( \frac{a^2}{a x - x^2} + \frac{x}{x - a} =\)
\(= \frac{a^2}{a x - x^2} + \frac{x}{-(a-x)} =\)
\(=\frac{a^2}{x(a - x)} - \frac{x}{a - x} ^{\color{blue}{\backslash{x}}} =\)
\(=\frac{a^2 - x^2}{x(a - x)} = \frac{\cancel{(a - x)}(a + x)}{x\cancel{(a - x)}} =\)
\(=\frac{a + x}{x}.\)
б) \( \frac{b^2 - 4b y}{2y^2 - b y} - \frac{4y}{b - 2y} =\)
\(=\frac{b^2 - 4b y}{y(2y-b)} - \frac{4y}{-(2y-b)} =\)
\(=\frac{b^2 - 4b y}{y(2y-b)} + \frac{4y}{(2y-b)} ^{\color{blue}{\backslash{y}}} =\)
\(=\frac{b^2 - 4b y + 4y^2}{y(b - 2y)} =\)
\(=\frac{(b - 2y)^{\cancel{2}}}{y\cancel{(b - 2y)}} = \frac{2y - b}{y}.\)
Пояснения:
1) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.
2) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.
3) Вынесение общего множителя за скобки:
\(kx-ky=k(x-y)\).
4) Противоположные выражения:
\(a-b=-(b-a)\).
5) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть
\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)
6) Далее, если возможно раскладываем на множители числитель полученной дроби:
- разность квадратов двух выражений:
\(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\);
- квадрат разности двух выражений:
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab+b^2\);
- свойство степени:
\(a^nb^n = (ab)^n\).
7) Сокращаем числитель и знаменатель дроби на их общий множитель.
№90 учебника 2013-2022 (стр. 25):
а) \( 1 - \frac{a+b}{a-b} =\)
\(=\frac{1}{1} ^{\color{blue}{\backslash{a-b}}} - \frac{a+b}{a-b} =\)
\(=\frac{(a-b) - (a+b)}{a-b} =\)
\(= \frac{\cancel{a} - b - \cancel{a} - b}{a-b}=\frac{-2b}{a-b} =\)
\(=\frac{2b}{-(a-b)}=\frac{2b}{b-a}.\)
б) \( \frac{a^2+b^2}{a-b} - a =\)
\(= \frac{a^2+b^2}{a-b} - \frac{a}{1} ^{\color{blue}{\backslash{a-b}}} = \)
\(=\frac{a^2+b^2 - a(a-b)}{a-b} =\)
\(=\frac{\cancel{a^2} + b^2 - \cancel{a^2} + ab}{a-b} =\)
\(=\frac{b^2 + ab}{a-b} = \frac{b(a+b)}{a-b}.\)
в) \(\displaystyle m - n + \frac{n^2}{m+n} = \)
\(=\frac{m - n}{1} ^{\color{blue}{\backslash{m+n}}} + \frac{n^2}{m+n} = \)
\(=\frac{(m - n)(m + n)+n^2}{m+n} = \)
\(=\frac{m^2 - \cancel{n^2} + \cancel{n^2}}{m+n} = \frac{m^2}{m+n}.\)
г) \(\displaystyle a + b - \frac{a^2+b^2}{a+b} =\)
\(=\frac{a + b}{1} ^{\color{blue}{\backslash{a+b}}} - \frac{a^2+b^2}{a+b} =\)
\(=\frac{(a+b)^2 - (a^2+b^2)}{a+b} =\)
\(=\frac{\cancel{a^2} + 2ab + \cancel{b^2} - \cancel{a^2} - \cancel{b^2}}{a+b} = \)
\(=\frac{2ab}{a+b}.\)
д) \(x - \frac{9}{x-3} - 3 =\)
\(=\frac{x -3}{1} ^{\color{blue}{\backslash{x-3}}} - \frac{9}{x-3} =\)
\(=\frac{(x-3)^2 - 9}{x-3} =\)
\(=\frac{x^2 - 6x +\cancel{9} - \cancel{9}}{x-3} = \)
\(=\frac{x^2-6x}{x-3}=\frac{x(x-6)}{x-3}.\)
е) \(a^2 - \frac{a^4+1}{a^2-1} + 1 =\)
\(=\frac{a^2+1}{1} ^{\color{blue}{\backslash{a^2-1}}} - \frac{a^4+1}{a^2-1} =\)
\(=\frac{(a^2+1)(a^2-1) - (a^4+1)}{a^2-1} =\)
\(=\frac{\cancel{a^4} -1 - \cancel{a^4} -1}{a^2-1} = \)
\(=\frac{-2}{a^2-1} = \frac{2}{-(a^2-1)}=\frac{2}{1-a^2} .\)
Пояснения:
Основные правила:
1) Выражения без знаменателей сначала записываем в виде дробей со знаменателем 1, затем для сложения/вычитания дробей приводят их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель соответствующих дробей на недостающие множители. После этого выполняют действия с числителями, оставляя общий знаменатель.
2) Вынесение общего множителя за скобки:
\(kx-ky=k(x-y)\).
3) Противоположные выражения:
\(a - b = - (b-a)\).
4) Квадрат суммы двух выражений:
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
5) Квадрат разности двух выражений:
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
6) Разность квадратов двух выражений:
\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).
7) Свойство степени:
\((a^m)^n = a^{mn}\).
8) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть
\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)
Вернуться к содержанию учебника