Упражнение 94 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{c}{b - c} + \frac{b^2 - 3bc}{b^2 - c^2}=\)

\( =\frac{c}{b - c} ^{\color{blue}{\backslash{b+c}}} + \frac{b^2 - 3bc}{(b - c)(b+c)}=\)

\( =\frac{c(b + c) + (b^2 - 3bc)}{(b - c)(b+c)} =\)

\( =\frac{bc + c^2 + b^2 - 3bc}{(b - c)(b+c)} =\)

\( =\frac{ b^2 - 2bc + c^2}{(b - c)(b+c)} =\)

\( =\frac{(b - c)^{\cancel2}}{\cancel{(b - c)}(b+c)} = \frac{b - c}{b + c}.\)

б) \( \frac{a + 3}{a^2 - 1} - \frac{1}{a^2 + a}=\)

\( =\frac{a + 3}{(a - 1)(a + 1)} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} - \frac{1}{a(a + 1)} ^{\color{blue}{\backslash{a-1}}} =\)

\( =\frac{a(a + 3)-(a-1)}{a(a - 1)(a + 1)}=\)

\( =\frac{a^2 + 3a - a + 1}{a(a - 1)(a + 1)}=\)

\( =\frac{a^2 + 2a + 1}{a(a - 1)(a + 1)}=\)

\( =\frac{(a+1)^{\cancel{2}}}{a(a - 1)\cancel{(a + 1)}}=\frac{a+1}{a(a - 1)}\)

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\).

3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.

4) Затем в числителе применяем формулы квадрата суммы и квадрата разности:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2\);

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab+b^2\).

5) Сокращаем полученную дробь на общий множитель числителя и знаменателя.

а) \( \frac{a+4}{a^2-2a}\;-\;\frac{a}{a^2-4}=\)

\( \frac{a+4}{a(a-2)} ^{\color{blue}{\backslash{a+2}}} -\frac{a}{(a-2)(a+2)} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)

\(=\frac{(a+4)(a+2)-a^2}{a(a-2)(a+2)} =\)

\(=\frac{a^2+4a+2a+8-a^2}{a(a-2)(a+2)} =\)

\(=\frac{\cancel{a^2}+6a+8-\cancel{a^2}}{a(a-2)(a+2)} =\)

\(=\frac{6a+8}{a(a-2)(a+2)} =\)

\(=\frac{6a+8}{a(a^2-4)}. \)

б) \(\displaystyle \frac{4-x^2}{16-x^2}\;-\;\frac{x+1}{x+4}=\)

\( \frac{4-x^2}{(4-x)(4+x)}-\frac{x+1}{x+4} ^{\color{blue}{\backslash{4-x}}} =\)

\(=\frac{4-x^2 - (x+1)(4-x)}{(4-x)(x+4)} =\)

\( = \frac{4-x^2 - (4x +4 -x^2 -x)}{(4-x)(x+4)} =\)

\(=\frac{4-x^2 - (3x+4 -x^2)}{(4-x)(x+4)} =\)

\(=\frac{\cancel{4}-\cancel{x^2}-3x-\cancel{4}+\cancel{x^2}}{(4-x)(x+4)} =\)

\(=\frac{-3x}{(4-x)(x+4)} = \)

\(=\frac{3x}{-(4-x)(x+4)} = \)

\(=\frac{3x}{(x-4)(x+4)} = \frac{3x}{x^2-16} . \)

в) \( \frac{(a+b)^2}{a^2+ab}\;+\;\frac{(a-b)^2}{a^2-ab}=\)

\( \frac{(a+b)^{\cancel{2}}}{a\cancel{(a+b)}} + \frac{(a-b)^{\cancel{2}}}{a\cancel{(a-b)}} =\)

\(=\frac{a+b}{a} + \frac{a-b}{a} =\)

\(=\frac{(a+b)+(a-b)}{a} =\)

\(=\frac{a+\cancel{b}+a-\cancel{b}}{a} =\frac{2\cancel{a}}{\cancel{a}} = 2. \)

г) \(\displaystyle \frac{x^2-4}{5x-10}\;-\;\frac{x^2+4x+4}{5x+10}=\)

\(= \frac{\cancel{(x-2)}(x+2)}{5\cancel{(x-2)}}  -\frac{(x+2)^{\cancel{2}}}{5\cancel{(x+2)}} = \)

\(= \frac{x+2}{5}  -\frac{x+2}{5} =0 \)

Пояснения:

В пунктах а) и б):

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\).

3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены. При раскрытии скобок помним правило умножения многочлена на многочлен:

\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\).

4) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть

\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)

В пунктах в) и г):

раскладываем на множители числители и знаменатели, затем, не приводя дроби к общему знаменателю, сокращаем отдельно каждую дробь на общий множитель числителя и знаменателя. После сокращения получаем дроби с одинаковыми знаменатели, у которых складываем или вычитаем числители, оставляя знаменатель прежним, в числителе приводим подобные и сокращаем полученную дробь на общий множитель числителя и знаменателя.